用高中生能懂的数学知识推导黑洞的霍金温度公式
1974年,史蒂芬·霍金通过将广义相对论与量子场论的某些元素相结合,证明了黑洞确实会发生辐射,导致它们慢慢蒸发并最终消失。对于我们来说,黑洞物理学是出了名的困难,需要广义相对论和量子场论的高级知识。那么,是否有可能通过高中数学就可以确定黑洞的特性呢?答案是肯定的。事实上,我们的策略很简单,使用量纲分析在不做完整计算的情况下猜测黑洞方程的结构。接下来,我们将关注长度、时间、质量和温度的基本量纲,它们分别用L、T、M和θ表示。
为了理解我们所说的量纲分析,让我们看一个简单的例子。物理学方程的伟大之处在于,它们提供了方程中出现的属性的量纲之间的关系。例如,考虑速度等于距离除以时间的方程,为了得到速度的量纲,我们只需要参考定义方程,它告诉我们速度的量纲等于距离的量纲除以时间的量纲,用等式来表达就是
一些基本常数的量纲
光速是最著名的基本常数之一,它和上述速度一样具有同样的量纲。从爱因斯坦的质能方程我们还可以得到能量的量纲。
根据万有引力公式的变体,我们可以得到引力常数G的量纲。
运用同样的技巧,我们可以得到约化普朗克常数的量纲。
最后与热力学有关的常数:
构建方程
有了这些基本常数的量纲,我们可以开始构建黑洞的方程了,不过这里有几条规则。当速度很快时,要加入常数c;当质量很大时,应该加入引力常数G;当涉及到量子时,要加入约化普朗克常数;当涉及到温度时,要加入玻尔兹曼常数KB。
接下来,我们以史瓦西黑洞为例,用量纲分析求解它的黑洞视界面积。首先,黑洞的质量是巨大的,所以方程应该包含引力常数G和质量M;其次,视界的逃逸速度等于光速,我们应该也包含光速c。因此,我们猜测的方程如下。
由此3α+β=2;-2α-β=0;-α+γ=0。得到α=2,β=-4,γ=-2。将这些值代入公式我们得到:
实际上,我们知道史瓦西黑洞视界面积等于:
黑洞的熵
当质量落入黑洞时,黑洞的视界面积总是增加。1972年,以色列物理学家雅各布·贝肯斯坦提出,给黑洞赋予一个熵确实有意义,并且黑洞的熵S与黑洞的视界面积A成正比,并且比例常数为η。
为了找出η的值,我们需要运用熵的热力学定义,dS=dQ/T,因此S的量纲为
此外,我们知道η是一个常数,因此它强烈暗示我们η可以由前面提到的基本常数构成。于是,我们利用同样的步骤,猜测η的组成是:
得到α=-1,β=-1,γ=3,δ=1。于是,我们有:
1974年,霍金利用广义相对论和量子场论的微妙而复杂的组合,证明了熵方程的精确形式包含了恰好四分之一的数值因子,再把黑洞面积公式代入,所以现在黑洞熵的表达式是:
黑洞的温度
1974年 斯蒂芬·霍金发现了一个关于宇宙的惊人事实,黑洞会发出微弱的辐射,导致它们最终蒸发并消失。由于辐射似乎是来源于黑洞视界周围的区域,因此应该给黑洞指定一个温度,这称为霍金温度。
为了计算霍金温度,我们要先从热力学第一定律dE=dQ+dW开始。首先dW=0,然后结合熵的定义dS=dQ/T,可以得到T=dE/dS。黑洞的能量全部来源于质量,我们就可以利用质能方程得到:
根据前面求得的黑洞熵的公式,我们可以得到下面的结果:
因此,我们能得到黑洞的霍金温度公式为:
从这个公式我们能看出,黑洞的质量越大,它的温度就越低。
如果大家对此感兴趣,我们可以继续运用量纲分析,分析霍金辐射的功率等更进一步的问题。
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