《缀术》主要内容简介及赏析

　　数学著作。《隋书经籍志》著录“缀术六卷”，《旧唐书经籍志》作“缀术五卷”。南北朝祖冲之、祖暅父子合撰。约成书于齐梁年间。该书不幸亡佚于北宋，部分内容经各种典籍引录，保存至今。
　　祖冲之，字文远。生于宋元嘉六年（429年），卒于齐永元二年（500年）。范阳遒（今河北省涞水县北）人。刘宋时任公府参军，谒者仆射，萧齐时官至长水校尉。他博学多才，创制《大明历》，最早把岁差引入历法；曾造指南车、水碓磨、千里船、欹器并改进漏刻；著述宏丰，有《长水校尉祖冲之集》五十一卷。《述异记》十卷，并撰有研究《周易》、《老子》、《庄子》、《论语》等经典的专著，均已失传。其子祖暅亦博学，在梁代官至太府卿，精通天文历算，撰《天文录》三十卷，《漏刻经》一卷。
　　祖冲之研读了《九章算术》及其刘徽注之后又有许多创见，写成数十篇专题论文，附缀于刘徽注之后，称之为“缀述”。祖暅在此基础上进一步研究，合父子二人之力，成《缀术》六卷（或五卷），其内容虽仅有片断保存至今，但均有重要价值。
　　一、圆周率的计算。《隋书律历志》：“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之在刘徽工作的基础上，求出了精确到七位小数的圆周率
　　一千多年后，阿拉伯数学家阿尔卡西（alKashi）才于一四二七年给出更精确的圆周率值。为了计算的方便，祖冲之还给出了用分数表示的两个圆周率值，即密率355113。
　　约率227。其中，密率是圆周率的分母小于10000的最佳渐近分数，欧洲人直到十六世纪才得到这一数值。因此，祖冲之在圆周率方面的工作远远地走在了当时世界的前列。由于用割圆术计算圆周率到七位小数需要巨大的计算量，而密率的取得又涉及一些理论方面的问题，因此，祖冲之究竟用何方法求出这些值仍是未解之谜。
　　二、球体积公式的推导。《九章算术》少广章“开立圆术”给出了一个已知球体积而计算球直径的公式，等价于如下的球体积公式：
　　其中d为球直径。三国时刘徽认为此公式误差太大，引入“牟合方盖”（两等径直交圆柱的公共部分）以推求球体积。他求出牟合方盖与其内切球体积之比为4：，但未能求出牟合方盖与其外切立方体的体积之比。祖冲之曾研究这一问题，在刘徽、祖冲之工作的基础上，祖暅概括出著名的刘祖原理：“缘幂势既同，则积不容异”，即，对于同高的两立体图形，如果横截面积（幂）之间的关系（势）已处处相同，则体积之间的关系也不能不是这样，从而求出了牟合方盖与其外切立方体的体积之比，最终导出了球体积的正确公式
　　其中r为球半径。这一工作因唐初李淳风注释《九章算术》时加以引述而被保留下来，应是《缀术》中的重要内容之一。在西方，刘祖原理被称为卡瓦列利（Cavalieri，15981647年，意大利）公理，但后者直到十七世纪才得到它。《缀术》中的这一内容也是世界数学史上的辉煌成就。
　　三、对二次及三次方程的研究。《隋书律历志》在记载了祖冲之关于圆周率的工作之后继续写道：“又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。”其中开差幂即求解二次方程，开差立即求解三次方程，这是中国数学史上关于三次方程的最早记载。
　　四、勾股问题及多面体问题。王孝通《上缉古算术表》称：“其祖暅之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽。臣今更作新术，于此附伸。”《九章算术》勾股章第十七二十一题均为与方城有关的测望及行路问题，涉及相似勾股比例、勾股恒等式；第二十题还需列出并求解二次方程，《缀术》中应亦有类似的问题，但有何不通之处就不得而知了。按王孝通的说法，《缉古算经》中应有改进这些欠通之处的例题，实际上，《缉古》第十五二十题即为勾股问题，涉及勾股恒等变形、三次方程及双二次方程。刍甍、方亭都是立体图形，《九章算术》商功章有其体积求法，《缀术》中或许有已知它们的体积，反求边长的问题，则需求解三次方程，王孝通认为《缀术》中的这些内容“于理未尽”，《缉古》第二十四题中包括了许多这一类问题，王孝通的批评是否得当，因《缀术》失传已无从评判。象《缀术》这样一部巨著，偶有处理不够完善之处本亦难免，丝毫不影响其在中国数学史上的重要地位。
　　除以上几方面内容外，《缀术》中可能还包括一些天文历法计算问题和度量衡问题，有的学者还认为书中研究了无穷级数。总之，《缀术》一书的内容是相当丰富的，成就是出类拔萃的。
　　《缀术》一书在古代以难读著称，《隋书律历志》在介绍了祖冲之的工作之后称：“所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”可见书成之后即遭冷遇。唐初《缀术》经李淳风等人注释被立于学官，做为国子监算学馆“十部算经”之一，当时的算学生需要用四年时间，是十部算经中修业年限最长的。其后，由于唐宋间数学教育制度时兴时废，又因专业数学人才的待遇太低（从九品下），缺乏吸引力，算学馆师生率多平庸之辈，故更易使《缀术》招致“废而不理”的命运，终于北宋时期失传，这是中国数学史上不可弥补的重大损失。