华师大版九年级第四章解直角三角形，知识点讲解加经典例题分析

　　1.射影定理
　　（1）射影定理：
　　①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
　　②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
　　（2） Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
　　①AD2=BD⋅DC；
　　②AB2=BD⋅BC；AC2=CD⋅BC。
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
　　反之也成立，若一个三角形某一条边上的中线等于它的一半，则这个三角形为直角三角形，该边为斜边。
　　2.锐角三角函数的定义
　　在Rt△ABC中，∠C=90∘：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin∠A，
　　（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos∠A，
　　（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan∠A,
　　（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
　　3.同角三角函数之间的关系：
　　（1）sin2∠A+cos2∠A=1；
　　（2）tan∠A=sin∠A/cos∠A。
　　4.特殊角的三角函数值
　　（1）特指30∘、45∘、60∘角的各种三角函数值。
　　sin30∘=1/2 cos30∘=√3/2 tan30∘=√3/3
　　sin45∘=√2/2 cos45∘=√2/2 tan45∘=1
　　sin60∘=√3/2 cos60∘=1/2 tan60∘=√3
　　（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记。
　　（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多。
　　5.解直角三角形
　　（1）解直角三角形的定义:
　　在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
　　（2）解直角三角形要用到的关系:
　　①锐角直角的关系：∠A+∠B=90∘；
　　②三边之间的关系：a2+b2=c2；
　　③边角之间的关系：
　　sin∠A=a/c，cos∠A=b/c，tan∠A=a/b（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）。
　　6.方向角问题
　　（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
　　（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
　　7.坡度角问题
　　（1） 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1:m的形式。
　　（2） 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h:l=tan α。
　　（3） 在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。应用领域：①测量领域；②航空领域； ③航海领域：④工程领域等。
　　8.仰角俯角问题
　　（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角。
　　（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
　　9.锐角三角函数的增减性（了解）
　　（1）锐角三角函数值都是正值；
　　（2）当角度在0∘∼90∘间变化时，
　　①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
　　②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
　　③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
　　（3）当角度在0∘≤∠A≤90∘间变化时，0≤sin∠A≤1，1≥cos∠A≥0　；
　　当角度在0∘<∠A<90∘间变化时，tan∠A>0。
　　10.互余两角三角函数的关系（了解）
　　在直角三角形中，∠A+∠B=90∘时，正余弦之间的关系为：
　　①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin∠A=cos∠(90∘−∠A)；
　　②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cos∠A=sin∠(90∘−∠A)；
　　也可以理解成若∠A+∠B=90∘，那么sin∠A=cos∠B或sin∠B=cos∠A。
　　注：由于电脑上传问题，所有字母后边的2代表平方，如a2代表a的平方。#中考数学##解直角三角形##锐角三角函数##九年级数学##华师大版#