混检跑赢病毒的得力法宝

　　作者 | 某只川老鼠
　　编辑 | 椭圆
　　来源 | 椭圆说
　　混检是什么神奇的东东？
　　7月21日早上刚醒的时候，迷迷糊糊打开手机，只见一条消息：＂南京禄口机场定期核酸检测查出9份阳性样本＂。一瞬间，我就不困了。
　　事实证明，从那时起，国内的疫情防控形势彻底改变，而我作为南京人，更是深受其影响。为了防控疫情，南京已经进行了3轮全员+2轮局部核酸检测，并且还在计划进行更多轮。而疫情传播到的其他城市也采取了类似的措施。毕竟只有靠充分的检测，咱才能跑在小病毒前面嘛。
　　只是，做检测时，我注意到了一个细节：一般全员检测都不是使用单人单检, 而是使用混检。一般来说, 混检由两步组成：
　　先把所有需要检测的人员每个人分成一组（, 例如南京使用）, 每一组的全部样本混合起来检测；
　　对于所有出现阳性的样本组，再对样本组里的成员单独进行一次检测，以确定到底是谁感染了病毒。
　　混检为什么那么香？
　　＂全员检测＂，说起来容易，做起来可不容易。南京是一个有着900多万人口的大都市，如果全部使用单人单检，恐怕检测人员面对着漫山遍野的检测管也只能一筹莫展了，多来个几轮市政府的钱袋子可能也要空了。
　　而混检最大的作用就是可以减少化验次数从而加快检测速度和降低成本。
　　单人单检时，平均每个人都要化验一次。我们现在来看看混检时平均每个人化验多少次。设病毒的阳性率为，假设分组完全随机，且假设城市人口远大于。我们不妨试图写出每个人平均需要化验的次数：
　　首先，第一轮的混检，每个人的样本化验一次，平均到每个人身上就是。如果这组样本没人中招，那就此结束，而这种情况发生的概率是。
　　但如果不幸有人中招，混检样本中的每个人都要再单独化验（此时可必须单人单检，不能有一个漏网之鱼），加上之前的，每个人要化验次。这样，总的平均每人需要的化验次数为：
　　对于合适的和，是有可能满足的，例如且时，就有。这样，化验量小了，检测速度就快了。
　　那么， 一个数学问题就出来了：
　　给定，请问取多少时，平均化验次数最少？
　　衣带渐宽终不悔，单调性让人憔悴失败的＂观察法＂和 ＂无能＂的导数
　　在写出的表达式的时候，我当时心理还一阵暗喜：这么简单的表达式，看一看单调性就出来了嘛！
　　结果，看了第一眼就秒怂：
　　首先，和都随单调递减，直接看是看不出来的。
　　不仅如此，它们在时的渐近行为也很一致：都趋近于。甚至于，这俩玩意儿随增大而减小的速度都在越来越慢。
　　这么一来，就算你有千里眼，＂观察法＂也根本行不通。
　　凭借高考数学最后一题的经验，我脑瓜一转，又想到了分析函数单调性的终极神仙：导数君。
　　然而，上天偏要和我唱反调。如果把暂时看做连续变量而求导，求得的导数为：。由于，（罪魁祸首在此~），这个导数是一个正项和一个负项之和，总的正负依然难以判断。
　　说到这里，可能还有人不服气：求一次导数不行，咱不能求两次吗？
　　那咱就试试，而且咱一不做二不休，直接给出一般的阶导数：
　　额这个……我似乎听到了啪啪的打脸声……
　　由于，为奇数时，为负，为正，而为偶数时恰好相反。
　　无论怎么求导，都逃不开＂一正一负＂之诅咒，并且正项和负向都随增大以逐渐变慢的速度趋近于。英雄如导数，也无可奈何啦！
　　最＂普通＂的办法：作差
　　＂高级＂的不行，咱只能放下那贵族身段，试试平民阶级的作差法了。定义：
　　则，的正负性就决定了的增减趋势。
　　如果我们让和这两个调皮鬼都自由活动，那它们不知道能把搅和成啥样。因此，我们只能先暂时限制的人身自由，而看在上自由活动时会给我们带来怎样的表演。
　　这时候，我们可以请出那＂高级＂的导数君来助阵了：
　　显然，在上单调增，在上单调减。从而，最小值为，最大值为
　　显然，最小值，而最大值，咱还要好好讨论讨论，而且这也直接关系到的正负性：
　　当时，可验证，从而对一切恒为负。
　　当时，构造下列函数：和。注意到，从而单调减。因此，时，可以验证：。因此，单调增，从而
　　因此，当时，（关于的）方程必有且只有两根。由于极值点为，这两根可以记作:
　　下标L和H来源于Low和High。当时，，否则。
　　为了更直观，图1中我给出了时随变化的图像作为例子。可以看到，完美地按照我们的预报一样，随着的增大先钻出地面，再下潜。
　　图1： 在时的图像
　　放出来跑？可以！不过……
　　在之前的讨论中，活蹦乱跳，而却被我们晾在一边观战。想必此时的心情和因为疫情呆在家不出门的我一样：
　　好吧，既然这样，咱就放它出来！不过，我们现在能力还有限，这么做的代价就是，我们必须把限制住。
　　本节中，我们只研究满足的两根和有什么小脾气。
　　随单调递减
　　由可知: 。又因为，我们有：
　　而应当满足，即：
　　根据定义，，从而：
　　若，利用导数容易证明关于函数在单调递增，比较以上两式即有：.
　　若，直接根据可得.
　　也随单调递减
　　首先证明时。根据在单调减和这一基本事实，我们只需证明：
　　现在构造函数和
　　。在时，，单调增。从而在时，可以验证，从而单调增。由此，我们知道在时必随单调递减。又因为，我们有
　　根据二次函数的性质容易证明时，而
　　既然我们已经证明了时，，下面我们就可以类似证明单调减的证明方法进行操作：由于，我们有
　　而应当满足，即：
　　利用导数容易证明关于函数在单调递减，比较以上两式即有: 。
　　还有一条很重要的极限性质：
　　首先，且单调递减，显然。至于，由于其单调递减而又不小于0，根据单调有界原理，必然存在且不小于。我们现在利用反证法证明。
　　假设（小于1是显然的）。那么，根据的单调性，必有对任意正整数成立。且由于，当足够大时必有 。从而，足够大时必有，从而根据一开始就讨论的的性质，应有。但是，时，用后项和前项的比值法容易证明，也就是说足够大必然有，即，矛盾。从而假设不成立。那么，必然有。
　　终于可以把和都放出来啦！
　　经过前面＂山重水复疑无路＂，我们终于可以对在上的正负性做一个总结：
　　时，对一切，均有；
　　时，存在且仅存在两根和，使得。当时，其他情形下 ；
　　和均单调递减，且
　　看上去，似乎我们还没有＂柳暗花明又一村＂。但只要借助数值求根，并且借助另一位得力助手——图像君，如图2所示作出和的图像，情况一下子就明了了。因为和之间的区域对应，我们可以说的正负性在图2中已经是一目了然！
　　需要注意的是，画这张图的时候我对两个坐标轴都使用了对数坐标，以更好地展现在更广范围内和随变化的趋势。也正因此，我要特别提醒各位
　　图2：和随n变化的图像
　　在之前我们就已经证明，对一切恒为负，因此永远成立。而时随的单调性我们已经可以借助上面的图像轻松得出:
　　当时，对一切成立，随单调递减。
　　当时，必然存在，使得随在时单调递增，其他时候单调递减。其中，＂必然存在＂是通过和单调递减，以及
　　在图3中，我对上述结论进行了直观展示。
　　图3：给定时，取不同的能否满足的情况
　　是时候收网了！
　　有了的单调性，我们终于可以把最小化的揪出来了！值得注意的是，混检只有的时候才值得进行，否则还不如单人单检，每个人平均化验一次。因此我们不仅要把最小化的抓出来，还得看看此时的是否比小。
　　要找的到底在哪里躲猫猫？
　　由，显然。从而，时，由随单调递减可知，混检只会拖慢检测速度。所以，这种时候不能进行混检。同理，时，由时单调递减也可以得到，所以取也只会拖慢检测速度。因此，我们应当考察在处取到的那个极小值。如果它小于，我们就应当混检，且就是我们应当取的。
　　从图像上来说，我们要找的就躲藏在图3中那根青色的线从左向右第一次进入阴影区时的位置。因此，这个是关于（换个字母避免混淆）的不等式：
　　的解。由于对一切成立，当时，这个解为。当更低时，要想这个解为 ，借助图3容易看出，必须满足。
　　混不混检？让的最小值告诉你
　　我们分情况讨论。当时，，有：
　　只有当时，才有。而数值计算表明，，，从而。也就是说，对这种情形，只有的时候才要混检。
　　当时，此时的解满足。我们不妨再去回头看一眼图像。注意到，的图像在对数图上近似是一条向下走的直线，且根据斜率可以看出。这一点可以如下验证：因为和满足，我们有:
　　而时，根据可知必然趋近于某个正的常数，从而
　　原来我们弄了半天，最后得到的近似关系居然如此简单！下表中给出几个和的值（保留4位有效数字），我们可以明显看出这一点：
　　表1：不同对应的和值的比较
　　在这一近似下，利用二项式定理，我们要找的极小值可以近似为：
　　显然，，混检有必要。由，上式可以进一步写作：
　　这说明，取合适的，我们的检测速度可以达到单人单检的约倍。
　　课代表总结发言来啦！
　　嗐嗐！首先，对于能把这篇文章完全从头一直看到这里的小伙伴，请收下下面的表情：
　　在写这篇文章之前，我怎么也没有想到，一个看似简单的表达式可以写出这么多的东西。
　　因此，为了让大家记住最核心的结论，我，这个不知名的课代表，给大家总结一下，记得记笔记哦！
　　只有在病毒阳性率时，才有可能。又因为对一切成立，
　　只有病毒阳性率不超过三成的时候，我们才考虑使用混检，并且每组应当有至少3个样本。
　　- 根据的图像，前几个的值和这一近似，我们得出：
　　病毒阳性率越低，我们每组的样本量就可以搞得越大。当时，应取；
　　当时，应取；
　　当更小（小于4%）时，可以大致按照进行样本混合。这样混检可把检测速度最高提高到单检的约倍。
　　5小提醒：现实可能更复杂
　　尽管这篇文章写下来，我已经感觉塌了一层皮，但是在文章的结尾，还是想提醒各位小伙伴，和现实情况相比，这个模型还是做了不少简化：
　　根据最近南京市爆出来的病例分布，我相信，江宁区的阳性率应当是南京全部13个区县中最高的。而南京市的核酸检测是基于社区进行的，因而就局部来说，或许把阳性率认为是常数，是有一些简化的。按照公式，或许江宁区应当使用更小的，但这样样本数不统一没准会让管理更困难，也不见得合算。
　　在整篇文章中，我们都假设检测是绝对准确的。但现实生活中，任何的检测试剂都可能存在将阴性误判为阳性，或反过来的情况。因而，本文的模型只是对最理想最简单的情况的描述。而且，文中讨论的混检方法也不见得是唯一的混检方法。
　　6最后的最后
　　祝这一轮疫情早点结束！
　　偷偷摸摸说一句……
　　作者：某只川老鼠
　　仰望宇宙的海外留学生
　　将星空的秘密蕴藏在公式与代码间
　　编辑：椭圆
　　想成为天文学家的教书匠
　　主业是数学建模（其实什么都教
　　懂一点心理