最易混淆的15条小学数学基础概念，你都清楚吗？

　　最小的一位数是0还是1？
　　这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页＂关于几位数＂的叙述：＂通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如＂2＂是含有一个数位的数，叫做一位数；＂30＂是含有两个数位的数，叫做两位数；＂405＂是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
　　再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对＂几位数＂是这样定义的，＂只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
　　于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
　　０不是最小的一位数。
　　为什么0也是自然数?
　　课标教材对＂０也是自然数＂的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
　　于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
　　从教学实践层面来说，将＂０＂规定为＂自然数＂也有着积极的现实意义。
　　2.1 ＂0＂作为自然数的＂好处＂
　　众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有＂基数＂的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
　　但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把＂0＂作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画＂有限集合元素个数＂的任务了。于此，从＂自然数的基数性＂这个角度，我们看到了把＂0＂作为自然数的好处。
　　2.2 把＂0＂作为自然数，不会影响自然数的＂运算功能＂
　　＂0＂加入传统的自然数集合，所有的＂运算规则＂依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。
　　所以，＂0＂加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的＂规定＂。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的＂定义＂和＂规定＂，还应该思考＂规定＂背后的数学涵义。
　　什么是有效数字一无效数字？
　　有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。
　　一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。
　　如近似数0．００３０９有三个有效数字：３、０、９；０．５２０也有三个有效字：５、２、０。
　　而０．００３０９中左边的三个零，０．５２０中左边的一个零，都叫做无效数字。
　　加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？
　　＂加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算＂这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。例如：
　　加法＂２＋３＝５＂，其逆算为＂５－２＝３＂，＂５－３＝２＂。
　　故此，加法的逆运算只有减法；
　　减法＂５－２＝３＂，其逆算有＂５－３＝２＂，＂２＋３＝５＂。
　　故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。
　　综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。
　　同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。
　　为什么不写＂倍＂？
　　在学习＂求一个数是另一个数的几倍＂应用题时，很多小朋友会自然提出这样的疑问，如：＂饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？＂为什么＂12÷3＝4＂的后面不写＂倍＂呢？
　　我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称
　　如：12只的＂只＂；8克的＂克＂。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，＂倍＂不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果＂4＂，表示12里面有4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。
　　所以，在算式里不写＂倍＂，以免＂倍＂与单位名称发生混淆。
　　＂倍＂和＂倍数＂的区别
　　在第一学段我们学习了＂倍的初步认识＂，认识了概念＂倍＂，而在第二学段,我们又学习到＂倍数＂这个概念。那么，＂倍＂和＂倍数＂这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？
　　＂倍＂指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为＂10×3=30＂或者＂30÷10=3＂，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，＂倍＂其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。
　　＂倍数＂指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，＂倍数＂是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。
　　同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6×5＝30，＂6×5＂表示6的5倍。所以从这个角度来说，＂倍＂的涵义应宽泛于＂倍数＂，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。
　　＂时＂和＂小时＂有什么不同？怎样使用＂时＂和＂小时＂？
　　首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。
　　（注：〔〕里的字，在不致混淆的情况下，可以省略）。
　　这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。
　　由此，＂时＂既可以表示时间，又可以表示时刻。由于＂时间＂和＂时刻＂这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位＂时＂时，
　　现行教材作了如下处理：
　　7．1当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位＂时＂。例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略＂小＂字）
　　7．2在用语言表述时间的长短时，为避免＂时间＂和＂时刻＂这两个概念产生混淆，则在＂时＂的前面加上一个＂小＂字。例如：超市营业时间12小时。
　　7．3在用语言表示时刻时，一律不得出现＂小时＂字样。例如：公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。
　　＂改写＂和＂省略＂是一样的吗？
　　从形式上看，此例将＂改写＂与＂省略＂两种对数的变化置于了同一个要求之下（即改写成用＂亿＂作单位的数）。我们真希望编者不是有意而为之，因为＂改写＂与＂省略＂其本质是完全不同的。
　　表现在：
　　8.1目的不同。
　　＂改写＂的目的是方便对大数的读写，而＂省略＂则是取数的近似值。
　　8.2方法不同。
　　此处的＂改写＂是去掉＂亿＂位后面的0，再写上一个＂亿＂字，而＂省略＂除了要找准＂亿＂位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。
　　8.3符号不同。
　　＂改写＂只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以用＂=＂号连接；而＂省略＂既改变了数的形式，又改变的数的大小，所以用＂≈＂连接。
　　＂路程＂就是＂距离＂吗
　　这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。
　　＂路程＂是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而＂距离＂则指连接两个地点而成的直线段的长度。
　　＂路程＂所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。
　　一般情况下，两个地点之间的＂路程＂要大于它们之间的＂距离＂，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。
　　虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开＂极限＂寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。
　　最大的分数单位是1/2还是1/1？
　　先看看分数单位的含义：把单位＂1＂平均分成若干份，表示这样一份的数。
　　显然，在分数意义中，关键是＂分＂，没有＂分＂，就没有＂份＂。
　　因为把单位＂1＂平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓＂分＂），由此得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。
　　尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。
　　像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?
　　分数的定义明确告诉我们:把单位＂1＂平均分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。
　　由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。
　　进而，在考查学生对＂分数＂涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如＂分数都大于0＂等命题的真与假陷入尴尬。
　　比6多1/2的数＂应该是＂61/2＂还是＂6×（11/2）＂
　　要弄清这个问题，先得弄清＂6＂的性质。显然，此处的＂6＂其实质是一个＂数＂，而非一个＂量＂，求＂比6多1/2的数＂应属于＂求比一个数多几的数＂的范畴，问题中的＂多几＂都是确定的具体数，这里的＂几＂既可以是整数，也可以是小数或分数。
　　所以，这里的＂1/2＂是指在6的基础上＂多1/2＂这个＂1/2＂数的本身，而非＂6的1/2＂。
　　所以，＂比6多1/2的数＂应该是＂61/2＂。
　　当然，如果题目确定为＂比6多它的1/2的数＂，那答案则属于后者。
　　计算出勤率可不可以不乘100%？
　　先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。
　　同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑：到底可不可以不乘100%呢？笔者以为，求＂××率＂其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。
　　如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数／应出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的＂几分之几＂），并不是百分数。
　　因此，在公式后面乘上＂１００％＂，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中，都应乘＂１００％＂。
　　同时建议各版本教材的编委统一思想，以免给一线教师造成认识上的混乱。
　　小于９０度的角都是锐角吗？
　　根据课标教材定义：小于９０度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：０度的角是什么角，也是锐角吗？
　　事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上，我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。
　　由此，严格意义上的锐角定义应是：大于０度而小于９０度的角叫做锐角。
　　足球比赛记分牌上的＂３︰２＂是数学中的＂比＂吗？
　　我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。
　　第一，球类比赛中的＂３︰２＂表示的是比赛双方的得分情况，是＂差＂比，即表示相差关系，一方得３分，另一方得２分，双方相差１分；数学中的＂３︰２＂表示的是＂３÷２＂，是＂倍＂比，商为１.5。有鉴于此，球类比赛中的＂比＂（其实是比分），其后数可以为０的，而数学中的＂比＂，其后数（相当于除数）是不可以为０的。
　　第二，数学中的＂比＂是可以化简的，如＂４︰２＝２︰１＂；同样的＂４︰２＂放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。