用发散性思维解读老胡论欧拉公式

　　用发散性思维解读 老胡《论欧拉公式》 （清风科普于2021年1月5日）
　　在中学很多学生怕数学，怕到患有数学恐惧症。花最多时间，拿最少分数，怎么不令人心生畏惧呢？于是许多女生只因为害怕数学，纷纷逃离理科，去混文科班。偏偏文科班就业面较狭窄，千军万马过独木桥，竞争血拼更加残酷惨烈！乌呼，欲哭无泪，欲言又止，欲罢不能，欲火焚身！
　　然而，如果你不把数学当成 ＂进阶＂ 的敲门砖，过分地看重分数的得与失；而是把数学当成 ＂游戏＂ 来玩耍，你将会发现在数学海洋里游弋（yì），其实趣味性绝不亚于 ＂魂斗罗＂ 打通关。
　　清风在前不久写过《趣谈欧拉公式与阿拉伯数字》科普文章，在《今日头条》发布，两天点击率4978人次。网名＂老胡说科学＂作者也在《今日头条》上发布科普文章《数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一：即欧拉公式》，点击率也不低，立马引起我极大兴趣。
　　同样都写欧拉公式，我觉得他写得比我好。我侧重于哲理趣谈，他侧重于数理分析。我是蛙跳式地蜻蜓点水，他是一步一个脚印地严谨论证。但也发现他的论证仍然不太好理解，甚至出现3个位点的科学性错误。
　　所以清风沿着老胡的思路，进行发散性思维和逻辑函数思维。重新把文章疏理一遍，力求论证更加严谨，逻辑思辩更加缜密，表达过程更加简洁规范。
　　欧拉公式，神一般地存在， 简洁的背后，并不简单。 它充满着魔幻般迷人的魅力， 其艺术价值和美学价值， 绝不逊色于断臂维纳斯。
　　（1）欧拉原式：e^iθ=cosθ+isinθ
　　左边自然常数e，
　　右边三角函数cos和sin，
　　两边都有虚数i。
　　（2）虚数单位：i=√-1（√表示根号）
　　（3）勾股定理（毕达哥拉斯定理）
　　a勾3，b股4，c弦5；
　　（4）三角函数：
　　①sinθ=a/c；②cosθ=b/c；
　　③tanθ=a/b；④ctanθ=b/a；
　　三角函数与直角三角形的＂数图关系＂。
　　（5）e的极限收敛：
　　e= 2.71828…
　　（6）欧拉公式推导： 当θ=π时，得：
　　①cosθ=0；
　　②isinθ=√-1×1=-1；
　　把①②代入欧拉原式（1）得：
　　③e^iπ=0 -1，变形得：
　　④欧拉公式：e^iπ+1=0
　　（数学界的维纳斯）
　　（7）e的指数函数：
　　eˣ=e・e・e…e・e・e（・表示乘号）；
　　（8）泰勒级数exp(x)：
　　把e的极限收敛（5），
　　代入e的指数函数（7），
　　得泰勒级数exp(x)：
　　①exp(x）=1+x¹/1！+x²/2！+x³/3！+…
　　②当X=1时，代入泰勒级数exp(x）得：
　　exp(1）
　　=1+1¹/1！+1²/2！+1³/3！+… =2.71828…
　　=e（自然常数）
　　结论：exp(1）= e
　　（9）输入乘法=输出加法：
　　泰勒函数最基本最神奇的性质是：输入的乘法会等于输出的加法，充满着魔性的魅力。 即：
　　e×p（a+b）= e×p（a）e×p（b）
　　举例证明等式成立：
　　把任意数（如3和4） 代入泰勒级数式exp(x)：
　　①exp (3)
　　=1+3¹/1！+3²/2！+3³/3！+3⁴/4！+3⁵/5！+3⁶/ 6！+3⁷/7！+3⁸/8！+3⁹/9！+… =1+3+4.5+4.5+3.375+2.025+1.0125+0.4392+0.1627+0.0542+0.0162+…（清风计算）
　　≈20.0855
　　清风分析：当分母阶乘x！>10！时，则3ˣ/x！<0.0162；如果x的整数值无限增大，则3ˣ/x！的小数值急骤收敛，趋向无穷小，小到可以忽略不计。
　　②e×p (4）
　　=1 +4¹/1！+4²/2！+4³/3！+… =1+4+8+10.6667+10.6667+8.5333+5.6889+3.2508+1.6254+0.7223+0.2890…（前10位阶乘计算）
　　≈54.5981
　　③exp (3) exp (4)
　　=20.0855×54.5981
　　= 1096.6331
　　④exp（3+4）
　　=exp（7）
　　=1 +7¹/1！+7²/2！+7³/3！+7⁴/4！… ≈1096.6331（各项计算过程省略）
　　结论：
　　e×p（a+b）= e×p（a）e×p（b）
　　即：输出加法=输入乘法，等式成立。
　　（10）求证：exp（1/2）=√e
　　已知：exp（1）=e [见（8）已证]
　　变形：exp（1/2+1/2）=e
　　则：exp（1/2）exp（1/2）=e
　　[见（9）已证]
　　结论：exp（1/2）= √e
　　（11）求证：exp（-1）=1/e
　　①exp（1）=e [见（8）已证] ②exp（0）=1 [代入泰勒级数exp(x)]
　　推导：exp（0）
　　=1 +0¹/1！+0²/2！+0³/3！+… =1+0+0+0…
　　=1
　　③导入：exp（0）=exp（1- 1）
　　得到：exp（0）=exp（1）exp（- 1）
　　变形：1=e・exp（- 1）
　　结论：exp（- 1）=1/e
　　（12）复平面的exp(i)值：
　　①欧拉原式：e^iθ=cosθ+isinθ
　　②泰勒级数：
　　exp（iθ）
　　=1+（iθ）/1！+（iθ）²/2！+（iθ）³/3！+（iθ）⁴/4！+…
　　③当θ = 1时，计算exp（i）的前20个元素，得到复数：0.5403 + 0.841468i。具体展示如下：
　　④在泰勒级数中（计算过程省略）：
　　有1项的exp（i）值：1
　　有2项的exp（i）值：1+i
　　有3项的exp（i）值：0.5+i
　　有4项的exp（i）值：
　　0.5 + 0.83333i
　　有5项的exp（i）值：
　　0.541666 + 0.83333i6
　　有6项的exp(i)值：
　　0.541666 + 0.841666i
　　有7项的exp(i)值：
　　0.5402777 + 0.841666i
　　有8项的exp(i)值：
　　0.5402777 + 0.841468i
　　有9项的exp(i)值：
　　0.5403025 + 0.841468i
　　⑤规律：随着在泰勒级数中加入越来越多项目（相），这个计算就变得越来越精确了。最后趋向于：0.5403 + 0.841468i。非常接近单位圆上的真实值。
　　⑥对数螺线（欧拉螺线）： 思维拓展：当θ取值1、1.5、2、2.5、3、3.5 …时，单位圆上的真实值变形成鹦鹉螺螺旋线，它越来越接近最终的指数值，我们可以用欧拉公式来验证，故称欧拉螺线，也叫对数螺线。
　　欧拉螺线可以很好地解释天体涡旋运动规律。例如银河系属于棒状涡旋星系，它向宇宙深隧处 ＂巨引源＂ ，以500公里/秒速度狂奔而去（供参考：人类科技所能达到的第3宇宙速度是16.7公里/秒）。银河系狂奔，走的并不是两点之间最短距离的直线，而是剑走偏锋，走的是 ＂S形＂ 大弧度的曲线。这条曲线就是欧拉螺线（对数螺线）。