中考数学压轴题分析折叠问题

　　【中考真题】
　　（2020·大兴安岭）综合与实践
　　在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
　　实践发现：
　　对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
　　（1）折痕BM 　 　 （填＂是＂或＂不是＂）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答： 　 　 ；进一步计算出∠MNE＝ 　　  °；
　　（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ 　 　 °；
　　拓展延伸：
　　（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A＂处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA＂交ST于点O，连接AT．
　　求证：四边形SATA＂是菱形．
　　解决问题：
　　（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A＂处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
　　请写出以上4个数值中你认为正确的数值 　 　 ．
　　【分析】
　　折叠中体现了轴对称的性质。可以得到折叠前后的两个部分是完全重合的，也就是说得到一对全等的图形。
　　题（1）得到△ABN中的三条边相等，结论就出来了。主要是利用折叠与垂直平分线的性质。
　　题（2）得到一个正方形，再把60°减去45°即可得出结论。
　　题（3）是非常典型的图形，在学习矩形、菱形的知识的时候常常会考到这样的题目。
　　主要是通过全等来证明线段相等，然后可以得到四边形的四条边都相等，且对边平行，易得是正方形。
　　题（4）难度也不大，因为AT=AT′，而Rt△A′TB是直角三角形，根据垂线段最短（斜边大于直角边）得到AT必然要大于5，所以结论就是只有7和9了。
　　【答案】 解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
　　∴EF垂直平分AB，
　　∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
　　∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
　　∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
　　∴AB＝BN，
　　∴AB＝AN＝BN，
　　∴△ABN是等边三角形，
　　∴∠EBN＝60°，
　　∴∠ENB＝30°，
　　∴∠MNE＝60°，
　　故答案为：是，等边三角形，60；
　　（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
　　∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
　　∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
　　故答案为：15°；
　　（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A＂处，
　　∴ST垂直平分AA＂，
　　∴AO＝A＂O，AA＂⊥ST，
　　∵AD∥BC，
　　∴∠SAO＝∠TA＂O，∠ASO＝∠A＂TO，
　　∴△ASO≌△A＂TO（AAS）
　　∴SO＝TO，
　　∴四边形ASA＂T是平行四边形，
　　又∵AA＂⊥ST，
　　∴边形SATA＂是菱形；
　　（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A＂处，
　　∴AT＝A＂T，
　　在Rt△A＂TB中，A＂T＞BT，
　　∴AT＞10﹣AT，
　　∴AT＞5，
　　∵点T在AB上，
　　∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
　　∴5＜AT≤10，
　　∴正确的数值为7，9，
　　故答案为：7，9．