中考数学压轴题分析旋锁相似

　　【中考真题】
　　（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
　　尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，AD/BD=√3，求DF/CF的值；
　　拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2√3，直接写出AD的长．
　　【分析】
　　题（1）已知两个三角形相似，那么可以得到对应边成比例且对应角是相等的。
　　根据对应边成比例且夹角相等即可证明结论。
　　题（2）难度不大，因为给出了三角形中的角度，所以所有边的比例关系都可以确定出来。那么结论就不难得到了。
　　本题主要考查特殊角的解三角形问题。利用特殊角得到边的比例关系。
　　题（3）难度略大。似乎没有什么思路。
　　不过观察题（1）和（2）发现它们的图形是类似的。所以我们可以在前面的基础上面构造类似的模型进行求解。
　　构造两个相似的三角形，△ABC∽△ADE。然后可以得到BDE三点共线。连接CE。
　　根据题（1）的相似可以得到BD/CE=4/2√3，然后就可以得出BC、BD、CD和CE的比值，然后还得到它们与DE的比值。
　　进而得到DE：BC=√5:4.那么AB与AD的比值也知道了。所以AD就算出来了是√5。
　　【答案】 问题背景
　　证明：∵△ABC∽△ADE，
　　∴AB/AD=AC/AE，∠BAC＝∠DAE，
　　∴∠BAD＝∠CAE，AB/AC=AD/AE，
　　∴△ABD∽△ACE；
　　尝试应用
　　解：如图1，连接EC，
　　∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
　　∴△ABC∽△ADE，
　　由（1）知△ABD∽△ACE，
　　∴AE/EC=AD/BD=√3，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
　　在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
　　∴AD/AE=√3，
　　∴AD/EC=AD/AE×AE/CE=√3×√3=3．
　　∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
　　∴△ADF∽△ECF，
　　∴DF/CF=AD/CE=3．
　　拓展创新
　　解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
　　∵∠BAD＝30°，
　　∴∠DAM＝60°，
　　∴∠AMD＝30°，
　　∴∠AMD＝∠DBC，
　　又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
　　∴△BDC∽△MDA，
　　∴BD/MD=DC/DA，
　　又∠BDC＝∠ADM，
　　∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，
　　即∠BDM＝∠CDA，
　　∴△BDM∽△CDA，
　　∴BM/CA=DM/AD=√3，
　　∵AC＝2√3，
　　∴BM＝2√3×√3=6，
　　∴AM=√(BM²-AB² )=√(6²-4² )=2√5，
　　∴AD=1/2 AM=√5．