中考数学压轴题分析角平分线与比例

　　【中考真题】
　　（2020·铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
　　（1）求证：CD是⊙O的切线；
　　（2）若AD＝8，BE/CE=1/2，求CD的长．
　　【分析】
　　题（1）证明切线。有交点连圆心并证明垂直即可。本题的中的关键条件就是角相等，∠BCE＝∠BCD。
　　∠OCB＋∠BCD＝∠OBC＋∠BCE＝90°，结论可得。
　　题（2）已知AD的长，及BE与CE的比值。表面上并没有什么特别的思路。
　　但是其中可以抽象出一个基本图形。
　　由于有角的平分线，所以考虑往两边作垂线即可。
　　可以得到两个直角三角形相似，且相似比为1:2.那么所有边的比例关系即可得出。
　　那么斜边2y-x就是2x＋y的一半了。建立等量关系如下：
　　2（2y-x）=2x＋y
　　得4x=3y，即 x：y=3:4 。
　　那么设BE=x，就可以得到AD=4x+2y=20x/3=8，所以x=6/5。
　　那么CD=2x+y＝10x/3=4。
　　不过上面的思路感觉还是比较绕，主要是用了硬算的方法。
　　当然，还可以作平行线得到线段相等，再建立等量关系。然后得到比例关系。
　　刚刚是通过局部的方式，利用AD的长度求出所有线段的长度。
　　其实站在全局的角度去看的话，可以发现 △DBC∽△DCA 。进而得到
　　CD/AD=CB/AC=BE/CE=1/2。
　　这样更直接一点。
　　【答案】
　　解：（1）连接OC，
　　∵AB是⊙O的直径，
　　∴∠ACB＝90°，
　　∵CE⊥AB，
　　∴∠CEB＝90°，
　　∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
　　∴∠A＝∠ECB，
　　∵∠BCE＝∠BCD，
　　∴∠A＝∠BCD，
　　∵OC＝OA，
　　∴∠A＝∠ACO，
　　∴∠ACO＝∠BCD，
　　∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
　　∴∠DCO＝90°，
　　∴CD是⊙O的切线；
　　（2）∵∠A＝∠BCE，
　　∴tanA=BC/AC=tan∠BCE=BE/CE=1/2，
　　设BC＝k，AC＝2k，
　　∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
　　∴△ACD∽△CBD，
　　∴BC/AC=CD/AD=1/2，
　　∵AD＝8，
　　∴CD＝4．