中考数学压轴题分析共点双等边三角形

　　【中考真题】
　　（2020·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
　　探究发现
　　（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
　　拓展运用
　　（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
　　（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
　　【分析】
　　题（1）典型的SAS证明全等；
　　题（2）如下图，得到△ADE为直角三角形，利用勾股定理代入边长即可。
　　题（3）本题难度也不大，关键是抽象出核心的图形。
　　如上图中，AC、CD的长度已知，且夹角为60°，所以形状与大小确定。
　　直接过点A作CD的垂线，即可得到面积与AD的长。
　　其实仔细一想，该三角形是不是就是特殊的30°，60°和90°的三角形呢？
　　取CD的中点连接也可以口算出结论。
　　【答案】 解：（1）全等，理由是：
　　∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
　　∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
　　∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
　　即∠BCD＝∠ACE，
　　在△BCD和△ACE中，
　　CD=CE，∠BCD=∠ACE，BC=AC，
　　∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
　　（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
　　∴BD＝AE，
　　∵△DCE都是等边三角形，
　　∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
　　∵∠ADC＝30°，
　　∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
　　在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
　　∴AE=√(AD²+DE² )=√(9+4)=√13，
　　∴BD=√13；
　　（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
　　∵B、C、E三点在一条直线上，
　　∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
　　∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
　　∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
　　∴∠ACD＝60°，
　　在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF/AC，
　　∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×√3/2=√3/2，
　　∴S△ACD=1/2×CD×AF=1/2×2×√3/2=√3/2，
　　∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1/2=1/2，
　　FD＝CD﹣CF＝2-1/2=3/2，
　　在Rt△AFD中，AD²＝AF²+FD²=(√3/2 )²+(3/2 )²=3，
　　∴AD=√3．