几何古老而神秘的数学学科

　　宇宙是人类有思维以来最大的不解之谜。探索宇宙的奥秘可以说是人类的终极目标，而数学是科学家解开宇宙之谜最强有力的武器，其中几何又是数学学科中最可能使人类理解宇宙的工具。
　　大家好，从今天开始伟岗跟大家谈谈几何的故事，伟岗很久没有更新文章了，在这里向大家抱歉，懒惰是伟岗最需要克服的缺点。
　　几何可以说是最古老的数学学科。伟岗前面讲过，古希腊最成功的数学研究就是几何成就。一本《几何原本》到至今都是数学著作经典中的经典。培养我们逻辑思维最重要的知识体系就是几何。数学始于毕达哥拉斯的万物皆数，而毕达哥拉斯的数学世界也是一个和谐的度量社会，这个也离不开几何。
　　就人类认识自然界来讲，几何也是占很大比重。如何度量土地可以说是人类成为文明社会之前必须要解决的问题。而每当古人仰望天空，浩瀚的宇宙布局以及星星位置的变化归根结底也是几何问题。
　　虽然就现代数学来讲，靠图形来研究几何已经没有很大意义。不过现代几何方面的数学家都有一个美丽的梦想，那就是把他们精妙抽象的结论用图形展示给大家，而做到这一点已经几乎是个不可能完成的任务了。是什么使几何跟普罗大众渐行渐远呢？换句话说，是什么使得现代数学几何方面的研究失去了直观性呢？这一点自然要从欧几里得的第五公设说起。
　　伟岗前面有两篇文章讲过几何的故事，大家有兴趣可以往前面翻翻看。那两篇文章首先讲了讲《几何原本》，然后分析了一下由于第五公设引起的两大数学潮流，那就是罗巴切夫斯基的直观非欧几何，以及黎曼的微分几何。就目前的情况看，直观非欧几何已经没有人深入研究了，而微分几何可以说是硕果累累，直到今天还是数学家研究的热门，可见其牵涉的范围之广之深，超出任何人的想象。
　　从某种意义来讲，由于微分几何的深入研究，数学家已经跳出了欧氏几何以及非欧几何的条条框框。也就是说数学家已经不关心他们研究的几何是欧氏几何还是非欧几何。数学家眼里的几何空间，欧氏空间只是一个特例，在它上面扩展简直就是随心所欲，各类我们普通人无法理解的概念随处可见，什么黎曼空间，赋范空间等等，使得我们这些只有初等几何程度的学生目瞪口呆，心里想数学家怎么能这样？
　　然而真正不能使我们普通人释怀的是，我们生活的空间似乎欧式几何理论也不够。爱因斯坦可以说是第一个把欧氏几何无法解释的物理空间展现在世人面前。他巧妙地把时间当作跟长，宽，高一样的性质来研究，也就是说引进了四维空间。有了四维空间，现实生活中物体的三维就发生了惊天动地的变化，因为三维空间可以在四维空间中弯曲。这样甚至人类到遥不可及的地方旅游也成了可以谈论的现实，结论相当的惊人。
　　虽然由于科幻作品的流行，现代人似乎人人都可以把四维甚至更多维空间的名词挂在嘴边。可是又有多少人真正理解四维空间的意义？换句话说，我们人类究竟生活在几维空间？这个问题，就是科学家也很难回答。
　　从我们日常生活的体验来看，我们似乎生活在一个欧氏三维空间。我们眼睛看到的物体都是只具有长宽高三个维度。但是就算抛开爱因斯坦相对论高深的理论，我们普通人一样有一个大谜团叫人无法解释，那就是我们生活的宇宙有没有边缘？用一个思想实验来说明就是：假设一个飞船能够自己补充能量，宇航员也可以在飞船上繁衍后代，如果这个飞船朝一个方向飞，那最终飞船会到达哪里？
　　显然，一个无边界三维欧氏空间的存在，超过人类的想象。但是如果我们生活的宇宙有边界，那边界之外又是什么？这又是一个很难回答的问题。从这个意义上来讲，我们必须研究非欧几何，因为欧氏几何无法解释宇宙边缘的存在问题。
　　当然，爱因斯坦更加聪明，他从运动分析中找到了我们现实生活世界不是欧氏空间的依据。光速传播媒介以太的不存在，把时间跟空间连接起来。同时重力场造成了我们生活空间的弯曲，这一点也脱离了欧氏几何理论。
　　一张纸可以弯曲折叠，这个好理解，但是一个三维空间怎么弯曲呢？有人说球体或者马鞍体都是弯曲的三维空间。其实严格来讲，球体和马鞍体只不过是二维平面弯曲的例子，一个弯曲的三维空间根本就很难想象它的直观形象。
　　挑战弯曲三维乃至三维以上的空间，才是真正非欧几何需要研究的领域。从否定第五公设开始，数学家也走了不少弯路。最早大多数数学家都想证明第五公设的成立。也就是说，只有欧氏空间存在。这显然是错误的。
　　对数学科学最大的一个误解就是，认为数学家完全是随心所欲，数学理论就是数学家在做假设和推理，符不符合自然界规律一点都不重要。
　　其实以数学的基础和逻辑，数学理论是对自然界最好的解释。只不过数学家的思维非常超前，很多数学理论都是对自然界深层次规律的描述，而自然界规律埋藏得太深，使得数学家的理论暂时看不到任何现实意义。假以时日，大家会发现，数学家早就预测到自然界那些规律。
　　当罗巴切夫斯基提出他的非欧几何时，没有人认为这样的几何有任何实际意义。我们现实生活中的度量和测绘，怎么可能出现过直线外的一点做出直线两条平行线的情况？就算罗巴切夫斯基天才般地把他的理论延伸下去，按照几何原本的模式，证明了很多非欧几何条件下的几何定理，比如三角形的内角和小于180度，还是没有很多人把他的理论当回事。最多认为罗巴切夫斯基只不过研究出了一个找不到逻辑错误的数学系列，这样的逻辑推理只不过是数学家的臆想，或者说是数学家的游戏，根本没有实际意义。
　　等到黎曼横空出世，科学家慢慢感受到了非欧几何研究的威力。微积分的应用，使得数学家能够更好地处理弯曲曲线曲面等问题。先把一个几何图形微观化（微分），然后再用积分等工具得出跟图形长度体积面积等的度量性质，大大拓展了数学家的眼界。一个图形微观化后，弯曲甚至三维以上的弯曲就不是问题了，因为在极小的范围里，可以当作平面来研究。而把这些极小平面在积分等工具下研究，虽然难度大大加强，但是这时欧氏非欧氏就没有什么区别了。得出的结果，表面上看只有数学上的意义。但是科学家终于可以得出很多弯曲空间的性质，而且这些性质都脱离了图形，也就是说脱离了直观性，这些性质的集合构成了现代几何的主要内容。一个崭新的数学世界就展现在数学家面前。
　　等到康德尔集合论的出现，几何图形都可以用集合来表示。这更使得几何研究进入了一个新时代，发展可以说是像脱缰的野马，你只要是个数学天才，你都有你的用武之地。
　　而爱因斯坦相对论的出现，更是非欧几何研究的一大胜利。可以说从这时起，人们开始关注弯曲空间以及四维空间问题。各类天马行空的想象故事到处流传。爱因斯坦的理论已经超越了科学，成了人类思维突破禁忌的典范，从这时起，任何奇怪的理论都不会觉得奇怪。倒是如何把人类的想象力限制在科学的范围成了一个难题。
　　当然讲故事一笔带过，似乎发展得很容易，实际上理解几何原本跟深入理解微分几何隔着一个巨大的鸿沟。甚至可以这样说，熟练理解几何原本，你只不过是初等数学水平。如果你理解了微分几何的真正含义，你就是一个当今的数学家了。
　　这绝不是伟岗哗众取宠，我们最后讲一点当今世界最伟大的几何数学家，也是伊朗的女数学家米尔札哈尼（ MaryamMirzakhani）的故事，你就会知道，现代几何已经非常难了。难到你连看都看不懂数学家的论文。
　　米尔札哈尼最大的遗憾就是英年早逝。她于2017年去世，当时只有40岁。联想到黎曼也只活了40岁，伟岗只能感叹上天的不公。考虑到大多数数学家都非常长寿，这更使得人感到悲哀。世事难料啊！
　　米尔札哈尼2014年获得了号称数学界诺贝尔奖的菲尔兹奖。她是唯一一位女性数学家获得如此殊荣，也是伊朗裔数学家唯一一次得奖。据说由于她的贡献，伊朗公开报纸上唯一不带头巾的女性照片就是米尔札哈尼的照片，可见其影响力甚至超越了宗教的约束。
　　实际上菲尔兹奖已经很少直接颁发给几何学家。大多数奖都是跟数论有关。当今数学界比较关注跨行业的连接。也就是把一些貌似很不同的数学学科连接起来。舒尔茨等都是这样的例子。舒尔茨就是用数论中的p进数理论，描绘了一个奇怪空间的性质，从而震惊了整个数学界。然而米尔札哈尼也非常厉害，你还不要不服，事实上米尔札哈尼只是凭仅仅的三四篇论文就得到了数学家的赞誉，得奖可以说是实至名归。
　　之所以说米尔札哈尼主要是几何学家，是因为她喜欢作图。她的研究成果或多或少地跟图形有关。这在当今数学研究中是非常少见的。她最大的成果就是研究出黎曼面上简单测地线数量问题。看到这里，估计很多人都懵住了，什么叫黎曼面，又什么叫测地线？由于篇幅问题，伟岗在这里卖个关子，详细的解释留在下篇。
　　文章末尾还是要感谢各位朋友同学的鼓励打赏，你的鼓励是伟岗写作的动力。