数学故事之数学的开始万物皆数

　　文明还是野蛮，人们常常问这个问题。相信绝大多数人都愿意选择文明，然而野蛮却占据了人类历史的大部分时间。文明和谐的社会真的很难。几百年一个轮回，大的野蛮事件总是会发生。人类有很长一段时间甚至选择像蝗虫那样的生活方式，走到哪里，就毁掉哪里。值得庆幸地是，偶尔的文明闪光会影响整个人类发展历史，数学的诞生也许就是这样。
　　大家好，伟岗今天开始带大家体验数学发展的历史。你可能早就读过了很多数学历史书，不过请相信伟岗，读伟岗写的数学史肯定会带来不同的体验。
　　文章开始前还是感谢朋友同学对伟岗的鼓励打赏，希望伟岗能写出更精彩的文字。
　　人类对数字的应用可以说从有智力就开始了。实际生活实在离不开数字。比如说打猎打了多少头羊，吃了多少食物，怎样分物品等，都离不开数字。所以说从巴比伦，到美索不达米亚，还有我们古老的中华文明以及古埃及文明，都不同程度有了数字的应用描述。但这些还不能算是数学。虽然这些古老文明，甚至发展出跟后来的解方程有关系的算式，但那时候，数字还没有被抽象出来，任何数字都跟具体物品相联系。比如说那时候说1，只能是1头羊，或一块石头，没有抽象的1存在。所以很难说有数学科学存在。虽然当时也有计数法，不过绝大多数场景，计数也只是为了应用，不是为了抽象数出来研究。
　　那么数学的产生是偶然的还是必然的呢？或者换句话说，数学给人类带来了什么？人类把数字分离出来，单独研究到底有什么好处？
　　从历史来看，数学成为科学还真是偶然性比较大。它的出现竟然是从人类的崇拜开始，这估计是很多人都想不到的。谈到这里，我们就必须提到数学史上第一个有名的人物：毕达哥拉斯。
　　在西方，毕达哥拉斯可以说是家喻户晓，主要是因为直角三角形的一个定理：毕达哥拉斯定理。不过在我们国家由于叫它勾股定理，所以很多人都不知道毕达哥拉斯这个名字。
　　斜边的平方等于两个直角边的平方和，这个在几何中算是最基本的定理。几乎所有上中学的人都熟知它。这个就是西方的毕达哥拉斯定理，我们叫勾股定理。
　　到底叫什么定理比较合理，科学上也很难有定论。虽说中国古人只发现了勾三股四玄五这个规律，把斜边的平方等于两个直角边的平方和据此就叫勾股定理，似乎有点不合理。但是要想到，那个年代，数学还没有成为科学，能有一个特例发现也是相当了不起的。况且，毕达哥拉斯是不是真正完美证明了这个规律，数学史专家也没有达到共识，一般来讲，大家都认为毕达哥拉斯是在别的地方学到这个定理的，所以你很难强调一定要叫毕达哥拉斯定理。
　　关键还在于，毕达哥拉斯是神秘主义的代表，他研究数学是为了建立一个神秘组织，把数字当做崇拜的对象。不过他绝对没有想到他的这个神秘组织竟然成了数学学科的创始组织。所以毕达哥拉斯并不被任何神秘教派历史所记载，而是被数学史写下来，一直留名到现在，这一切都是一个很大的偶然事件。
　　毕达哥拉斯神秘组织对外的口号是：万物皆数。这个后来被数学史专家定义为数学学科的开始。这也是毕达哥拉斯成为数学史上第一个数学家的主要原因。而毕达哥拉斯的神秘组织，历史学家又称为毕达哥拉斯学派。
　　毕达哥拉斯学派当然不是仅仅只喊喊口号，他们还把数抽象出来，进行了深入地研究。这一点就跟其它神秘组织拉开了距离。他们的目标是要找到数跟大自然的和谐关系。这就是所谓的度量。
　　从某个意义上来讲，毕达哥拉斯学派只研究整数，这应该是历史的局限性。比竟小数等比较复杂，在那个远古时代，研究手段和工具又特别简陋，所以只把精力放在整数上应该是不得己而为之。这个学派对现实生活的很多现象都用整数去描述，比如物体的长度，划分的农田，甚至音乐也用数字去解释。本来他们描述的世界，在他们眼里是和谐的，这一点给了神秘组织存在的前提。因为古代算术不可能那么精确，基本上现实物体都是可度量的，所以数字化后都是成比例的，记下的数都是所谓成比例的数，也就是有理数（英文中，有理数rational number还有成比例数的意思），也可以说是可度量的量。
　　所谓成也萧何败萧何，神秘组织的神秘往往是被它所推崇的事物打破，这大概也是历史的诡秘之处。而毕达哥拉斯学派也正是被数所击破，因为数可不是他们所想得那么和谐。无理数这个当时还没有人发现或深入研究的类型终于摆在了毕达哥拉斯学派这个组织面前，产生的来源就是让这个学派至今被人记住的毕达哥拉斯定理，这也有一点讽刺的意味。
　　详情我们现代人应该都能理解，当两个直角边长度都为1时，斜边就是根号2
　　。这个根号2就是一个无理数。
　　根号2是无理数的证明也是数学证明的一个典范，首先要假设它是有理数，也就是说能用分数表示，分子和分母还没有公约数（如果有可以先约去），这样可引发一个矛盾。
　　毕达哥拉斯的同仁能够发现证明根号2是无理数，应该说这个组织的数学水平还是相当高的，不过他们的证明是用几何做图的方式完成的，比较复杂，但也算基本完成了数字的抽象化过程，因为这个证明已经完全脱离的具体物体，只是跟数字有关，从某种意义讲，数学研究可以开始了，这也可以说，把毕达哥拉斯的万物皆数作为数学学科的起点，还是有科学根据的。
　　无理数的发现，基本宣告了毕达哥拉斯神秘组织的死亡，毕竟它毁了这个神秘组织的初衷。这时大家肯定会有疑问，毕达哥拉斯学派为什么不能直接承认无理数的存在呢？这个问题有从两方面说。一方面，无理数的性质在当时是很难搞清楚的。我们前面讲过，无理数不单单是不能整除那么简单，它蕴藏着深刻的数学逻辑。事实上，数学家直到19世纪，才理顺了无理数的各种性质，算是给无理数，也就是实数（有理数加无理数）理论画上了一个完美的句号。
　　除了前面说的实数的稠密性，无理数比有理数多的问题，还有超越数，代数数等一系列问题。甚至伽罗华的五次及以上方程没有根式解的群论，也跟数的性质有关。要毕达哥拉斯及其同时代人，弄明白那么多复杂的理论，确实不现实，数学发展不可能一步登天，它需要长时间的累积，所以毕达哥拉斯学派拒绝承认无理数应该是必然的。由于无理数肯定存在，而当时的数学研究者（当然以毕达哥拉斯学派为代表）又拒绝承认，这不可避免的要发生一场冲突，这就是数学史上所说的第一次数学危机。
　　没想到数学刚开始诞生就发生了危机，可见科学发展的艰难。对待数学危机，科学家一般采用先搁置的方式，不做深入的辩论，先发展其它数学分支，等到时机成熟了，再解决危机。所以古希腊没有直接发展数论，而是先从几何入手，把数学发展推向了一个高潮。
　　从另一方面讲，毕达哥拉斯学派既然是神秘学派，那它就不会轻易承认自己的错误。我们后人看历史往往有这样的感叹，历史事件中的当事人要是稍微理智一点，承认自己的错误，深刻反思，很多大的悲剧都可以避免。特别对当权者更是如此。中国历史上这样的例子，可以说比比皆是。
　　我们随便举个例子。你知道清朝总结明朝灭亡的理由是什么吗？清朝认为是党派之争和宦官专权。其实就是个瞎子也都能看得出是明朝的皇帝出了问题，那么多变态的皇帝，明朝不灭亡就没有天理。
　　明朝有不上朝的皇帝，有沉迷于性药的皇帝，更有以杀人立国的开国皇帝，这样的王朝怎么可能不灭亡？但清朝的统治者敢总结这些理由吗？要是他们想吸取这些教训，就要考虑皇朝的接班人怎么选取以及皇帝权力的限制，这就要动摇王朝的根基了，那是万万不可的。
　　所以这还不仅仅属于数学方面的问题，要打破自己的戒律非常的难，但是不冲破自己画下的圈子，以开放的姿态迎接新问题和新挑战，任何组织最终的结局只能是死亡。
　　毕达哥拉斯学派最终还是烟消云散了，是不是无理数的原因，史书上也没有说，这个大家可以自己思考。这个学派开创了数学这个学科，所以至今还被人记住，算是名垂千古，从这个意义上讲，这个组织还算辉煌过。然而，在无理数方面遇到的问题，可以说是留下了很多遗憾和供大家思考的地方。怎样才能建立一个长期有利于数学乃至科学发展的环境，可以说到现在还没有很好的答案。
　　今天的篇幅也够长了，接下来我们要谈谈古希腊在几何方面的贡献。几何可以说才是古希腊数学家最辉煌的部分。