黎曼猜想蕴藏着深奥的数学理论

　　数学家的想象力是惊人的，他们能把貌似完全没有关系的概念连接到一起，而且这样的连接还是有逻辑，有严格证明的，而不是凭空瞎想。黎曼猜想就是这样连接的典范。
　　大家好！伟岗今天跟大家聊聊黎曼猜想里面的一些数学知识，从根本上讲这些知识都非常深奥，要真正搞懂它们非常难。但是我们这些只有高中水平的人还是可以凭想象理解数学家的一部分工作，至少理解数学家的逻辑在哪里。
　　记住这一点，任何深奥的数学知识都不是凭空得来的，它们都是以我们高中所学的数学知识为基础推导出来，理解它们是完全可能的，即使不能完全理解，了解其中一个部分也可以得到一些思考的内容和乐趣。
　　伟岗还是要强调，数学不是变魔术，它的所有内容都有前因后果，因此是所有人都是可以理解的。造成目前大家对现代数学的神秘感，主要是数学家挖掘的东西太多，每个人都必须花很多时间和脑力才能跟上数学家的步伐。我们并不奢望跟数学家比肩，但是我们应该尽量去学习理解现代数学知识。毕竟数学是科学的皇后，多思考数学对一个人的思维和人生都有正面地影响。
　　文章开头还是要感谢朋友同学的鼓励打赏，多谢了！
　　黎曼猜想可能于2018年9月24号就要揭晓被证明了，不过伟岗有些怀疑。虽然从主流上讲，大家都倾向于黎曼猜想是成立的，而且很多数学家都期待黎曼猜想被证明。因为如果黎曼猜想成立，据说有成千上万的定理都可以证明是成立的，这一下很多人就会成名了。目前的结果证明了伟岗的怀疑，黎曼猜想仍然是一个数学上的难题。
　　不过还是有极少数数学家怀疑黎曼猜想的正确性。当然数学家的怀疑可不是凭空，根据是有的，所以叫合理怀疑（英语叫reasonable doubts）。最有力的根据就是由黎曼猜想导出来的素数分布公式在某些点会崩溃。这是什么意思呢？让伟岗从头说起。
　　我们前面一篇聊过，数学家定义了一个衡量素数个数的函数叫π（x）。注意这个函数的x只取正整数值，也就是说x只能是自然数，也就是1,2,3,4，……。π（x）这个函数是小于x的所有素数的个数。
　　首先我们扫扫盲，讲一下什么是素数。素数就是只被自己和1整除的数。也就是说，一个数如果不能分解成两个或者更多数的乘积，那么它就是素数。比如说3,5,7等，7就不能分解成任何数的乘积。而6就不是素数，因为6=2X3（2乘以3）。数学家定义1不是素数，这是约定的，没有什么道理好讲。
　　知道了什么是素数，那么π（x）就比较好理解了，这个函数的值取决于x的大小，注意x只能是自然数。比如我们让x等于10，那么比10小的素数就有，2,3,5,7。而1,4,6,8,9不是素数，我们要把它们剔除。所以小于10的素数有4个（2,3,5,7），那么π（x）的值就等于4。我们以此类推。
　　数学家很想找到π（x）的计算公式，可惜目前看是不可能的。所以我们在前篇文章中讲过，数学家只能退而求其次，估算π（x）的值。数学家做任何事情都不是盲目的，而是有套路的，估算π（x）当然不例外。数学家的估算是指当π（x）值越来越大时，这个数值会跟某个可以计算的公式值接近。
　　这样做是有道理的，因为我们知道素数有无穷多个（这个欧几里得已经证明），所以当x取值越来越大时，比x小的素数肯定会越来越多，这样π（x）的值就会越来越大。我们如果知道π（x）会慢慢接近某个公式的计算值，事实上我们就几乎等于找到了π（x）的计算公式。虽然这个计算有一定的误差，但误差会慢慢减小，我们离正确值就越来越近。
　　我们前面一篇聊过，高斯第一个发现了一个较好的π（x）的趋向公式，见下图。
　　更好的一个π（x）的接近公式是Li(x)。Li(x)的计算公式如下。
　　我们不去管Li(x)怎么具体计算，但是数学家是可以计算出来的，记住这一点就够了。如果黎曼猜想成立，那么π（x）的值我们可以有更好的限制公式。这时极少数学家的合理怀疑就产生了，因为这样的限制公式在x取非常大的值时，会偶尔有一两个出现完全不成立的情况，也就是说限制公式崩溃了。这是什么意思呢？
　　具体来讲，黎曼猜想如果成立，那么非常可能π（x）趋向于Li(x)，并且π（x）< Li(x)。不过数学家发现，有一些非常大的数，会造成π（x）> Li(x)，这些数被称为斯库维数（英语叫Skewes number），这是为了纪念斯库维(Skewes)第一个找了一个这样的数。它非常大，见下图。
　　这个数已经大到超过任何人的想象。后来数学家又找到了一个小一点的斯库维数（当然也非常大），见下图。
　　这些数的存在当然不能说黎曼猜想就不成立了，不过也给了数学家一点遐想的空间，毕竟这些数破坏了π（x）的和谐。
　　从数学家的观点看，如果黎曼猜想成立，那么π（x）值的分布将会更加随机，更加符合统计规律，用通俗语言讲就是会分布得越来越乱。大家不要以为数的分布越乱，数学家越没有头绪，其实数学家最怕的是突变多，有规律有公式当然最好，如果没有规律，倒是越乱越好，因为数学家手里还有概率论这个工具。统计规律研究也是数学家深入研究的范畴。越乱，数学家反倒手上的工具越多，得到的结果和推断会越来越接近未来或未知的事实。倒是突发的数或事件，数学家完全没有办法对付。或者说很难应付。
　　由于有了斯库维数的存在，π（x）值的分布就有了突变，如果突变多了，黎曼猜想不成立的可能性就大了，这是极少数数学家的观点，算非主流吧。
　　所以从上面这些话题看，黎曼猜想蕴含的数学知识比我们想象的要深奥的多。它跟素数的分布挂上了沟。这有点不可思议，因为黎曼猜想似乎只跟黎曼zeta函数有关，怎么会跟素数联系在一起呢？这个真的需要非凡的想象。
　　另一个勉强说得过去对黎曼猜想正确性的怀疑来自黎曼猜想中黎曼zeta函数中零点的计算，简称黎曼零点计算。
　　我们从黎曼zeta函数计算看，它非常不容易。因为它是无穷级数的计算。我们前面说了，欧拉是我们第一个要感谢的人，因为他计算出了平方倒数和的无穷级数。这个问题也是数学史上非常有名的问题，叫巴塞尔问题（英语叫Basel Problem），这个问题也困扰了数学家差不多一百年，可见它的难度。
　　光一个欧拉计算出来的无穷级数和是远远不够的，要找到黎曼零点，还有许多工作要做。第一个突破的是丹麦数学家格拉姆（Gram），他计算出来了15个黎曼零点，不过这时已经是黎曼猜想面世的44年后了。
　　黎曼猜想是说黎曼零点的实部都等于1/2（二分之一），也就是说，黎曼零点（这里零点一般是指黎曼zeta函数指数值使得黎曼zeta函数最终计算结果为零，一般用希腊字母ρ表示zeta函数的指数值）都是形如：1/2+i*t这样的复数。这里i等于根号负一，而t是任意实数。也就是说ρ=1/2+（某个实数乘以i）。举个格拉姆找到的具体例子，ρ=1/2+14.1347251*i。
　　从这个例子就可以看出来，黎曼零点非常难求。就是普通的运算求到这个ρ值都非常难，而这个ρ值还在数的指数上，而且还是一个无穷级数的指数上，难度之大可想而知。
　　事实上，黎曼零点如此的难求，格拉姆首先是先假设ρ的实部为1/2。也就是说格拉姆是先假设黎曼猜想成立，然后再去计算ρ的值，也就是黎曼零点。
　　即使先假定了黎曼猜想成立，黎曼零点的计算还是非常的难。这也许是数学家花了44年才找到零点的原因。具体的计算过程有很多数学上的技巧和不断尝试。
　　粗略的讲，数学家找到了逼近黎曼zeta函数值的方法，也就是说如果给出一个ρ值，数学家通过积分和不断逼近的方法，可以计算出黎曼zeta函数的值。通过计算一些zeta函数的值，数学家可以找到黎曼零点大概在什么范围，而且数学家能不断缩小这个范围。也就是说数学家通过大量的运算可以找到一些潜在的黎曼零点。而且这些潜在的零点会原来越精确。举例说明的话，数学家先确定1/2+14.1*i和1/2+14.2*i之间有一个零点，先实验，比如1/2+14.13*i是不是黎曼零点，经验证不是，就再缩小范围，确定1/2+14.13*i到1/2+14.14*i之间肯定有一个零点，再去试算。这样一步一步下去，最终找到一个真正的零点。
　　而其中，对格拉姆来讲，ρ的实部等于1/2至关重要，他的一切运算都是基于这个。可以说没有这个假设，格拉姆的运算就不可能进行下去，这就给了合理怀疑派数学家一个小小的理由怀疑黎曼猜想成立的可能性。因为你的计算是基于黎曼猜想成立而去找黎曼零点的，这不是有循环论证的嫌疑？
　　当然格拉姆也没有错，因为很有可能ρ的实部如果不等于1/2，就根本没有黎曼零点。换句话说，如果找到了ρ的实部值不等于1/2的黎曼零点，那黎曼猜想不是被推翻了？这可不是那么容易的。
　　所以简单地讲（当然不严密），从格拉姆这里，我们还不能就此判断黎曼猜想成立的可能性非常大。不过后来，数学家有了很多改进算法。事实上，德国数学家西格尔从黎曼的一些手稿中找到了一些改进算法，从而使找到黎曼零点更加容易。也就是说，其实黎曼自己也在找黎曼零点上花了很多功夫，也有很多成果，并找到了一些正确的黎曼零点值。只可惜黎曼过早离世，人在世时又非常低调，所以人类要等那么多年才能真正看到实在的黎曼零点。
　　后来数学家计算出很多黎曼零点，据文献说已经计算出10的13次方个黎曼零点值（也就是万亿个黎曼零点值）。当然这些零点值都是满足黎曼猜想的（如果有一个不满足，黎曼猜想就被否定了）。是不是专门计算的满足黎曼猜想的黎曼零点值，这一点伟岗还需要深入地研究才能确定。不过据文献说，目前有数学家证明，至少30%的黎曼零点值满足黎曼猜想，这也是非常了不起的工作。等到证明100%的黎曼零点满足黎曼猜想，那黎曼猜想就被证明了，但愿明天有这样的好结果。
　　今天的篇幅有点太长了，虽然黎曼猜想还有很多深奥的数学知识，这些留在下一篇伟岗再跟大家聊吧！
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