阿蒂亚逝世前留给后人的一点故事

　　前段时间，阿蒂亚的一个断言兴奋了整个中国科普届，真没想到中国人那么关心数学的发展。众多十万加的文章纷纷出笼，不知是喜是悲？
　　大家好，今天伟岗跟大家聊聊伟岗对费马猜想跟黎曼猜想的一些感想，这里面很多伟岗的个人观点，当然存在偏见甚至错误，也希望大家批评指正。
　　文章开始前还是要感谢朋友同学的鼓励打赏，这是对伟岗的最大支持。
　　费马和黎曼，可以说是两个留有缺憾的数学巨匠。费马的缺憾在于跟当时主流数学界若即若离，这也许是他跟发明微积分擦肩而过的一大原因。
　　黎曼的缺憾在于他的身体不好。如果他能多活20年，数学也许能进步上百年。这不是伟岗夸大其词，黎曼很多思想都大大地超前，如果都能整理出版，数学真有可能是另一番景象。
　　当然黎曼的性格过于低调，这也是一大遗憾。数学史专家一般把黎曼称为害羞腼腆的小男孩（英语叫shy and timid boy）。
　　本来高斯是非常欣赏黎曼的，正好高斯又是黎曼的老师。可以说黎曼提出的黎曼非欧几何以及数论方面的黎曼猜想都是高斯非常想发展的方向，如果两个数学天才能够深入交流探讨，那也许会有奇迹发生。
　　可惜，我们查不到一丝黎曼跟高斯交谈的记录。高斯，我们前面提到过，有一个缺陷，那就是不太愿意上课和带学生。不过如果黎曼主动一点，也许情况会得到改善。总之，历史给了两个天才相碰撞的机遇，要是两个人能够哪怕有一方比较主动，一个数学的新思想也许就产生了。
　　当然黎曼在数学上可不腼腆，他开创性的思维甚至超过了高斯。这也是数学的魅力之一。一个有数学天分，不太懂人情世故的人也能在数学史上创造奇迹，这应该算人类文明的一大优势。永远要记住的是，任何时候数学都是科学发展的先锋，一旦数学失去了发展方向，人类就会慢慢陷入只有技术的年代。而只讲究技术的年代，人类的思维慢慢会被压抑住，并失去创新的动力，这一点，古罗马和中国历史都可以说是已经被验证了。
　　黎曼猜想可以说是给数学发展指出了一个方向，目前数学家也无法确认黎曼猜想的证明会把数学带到哪里。这个证明甚至可以说连一步都没有迈出！
　　虽然我们知道数学家证明了至少三分之一的零点符合黎曼猜想，但这个离真正的证明还差十万八千里，可以这样说，也许以后的证明跟这个三分之一的确定完全没有关系。黎曼猜想的证明需要新的数学理论做为支撑。这一点可能说得有点抽象，我们就以费马猜想的证明来说明一下，也许大家可以有所理解。
　　从表面上看，费马猜想的证明也不会涉及任何高深的数学知识。不就是一个方程式没有正整数解吗？虽然绝大多数人都无从下手，但是你要告诉他证明费马猜想需要群论中的表示理论，还需要深刻理解椭圆函数以及模形式，伟岗相信在费马猜想被证明之前，世界上极少有人认为这些是真的。即使是顶尖数学家也是如此。
　　群论可以说是数学家伟大的发明之一。它的精妙在于，在群论里，数学家已经不研究具体数以及数的运算，而是研究数的结构。这句话要动点脑筋才好理解。简单讲，我们一般人心目中，数学就是有一定的量（比如，2,5,8等），这些量经过一些运算变成了其它的量（比如，10,15,18等）。一般数学就是研究这些量和运算就行了。
　　然而群论不同，群论是把一组数组合起来，让它们满足一些条件（比如跟加法类似的条件，封闭性，交换性等），然后整体研究这一组数的性质，我们甚至可以忽略这一组数具体是什么，我们只研究一些跟这组数整体有关的性质。就像我们研究建筑物，不研究它具体是什么砖什么土建的，而是研究这个建筑物整体看起来是什么样子的，这就叫研究结构，而不研究具体的对象。
　　之所以数学家要研究一组数的结构，主要是有些性质必须要通过研究结构才能探明。比如说对称性。数以及数的运算很难确定一组数是不是对称，而群论就比较容易得出对不对称的结果。打个不准确的例子，你通过建筑物里面的砖头等肯定判断不了这个建筑物对不对称，但是看整体就一眼就能判断，这就是研究结构的厉害。而这类对称性方面的信息，对研究诸如方程式有没有根式解可以说是至关重要。所以群论是发源于研究五次及以上方程有没有根式解，这个困扰数学家上千年的难题。
　　当然要真正理解群论，还有很多东西要学，我们后面会稍微详细一点介绍。可以说群论是现代数学的精华。你如果理解了群论，对现代数学的认识就加深了很多。
　　而椭圆函数和模形式更是比较高深的现代数学知识。在怀尔斯之前，谁也不敢把这些理论跟费马猜想的证明完全等同起来。虽然在怀尔斯之前，有日本数学家把费马猜想跟椭圆函数和模形式等价起来。但是这样的等价，数学家也不敢保证是把费马猜想简单化了还是更加复杂化。也就是说，能不能用椭圆函数和模形式理论去证明费马猜想，在怀尔斯之前，没有任何数学家有信心。
　　椭圆函数有个特点，就是它的双周期性。也就是说它没隔一段就会性质复原（这就叫周期性）。有了周期性就有了模的问题。这个模的问题也很困扰我们一般的人。要深入理解它还有一定难度。我们只能简单地了解一下。
　　所谓模跟余数是密切相关的。最简单的例子，我们平时常见的10进位数，模就是10。这个怎么理解呢？
　　我们有的时候，看一个数，只看它的个位，也就是说1跟11，2跟12，3跟13等我们往往认为是一类数。把10忽略掉，只研究11剩下的1（或者12剩下的2，以此类推），这个就是模跟余数的研究方法。用普通语言讲就是忽略模，只研究余数。数学上还有专门的符号：11≡1（mod10）。也就是说以10为单位，我们把1跟11等同起来。这在数学上叫同余研究，也是数论的一大研究范围。
　　当然用椭圆函数做同余研究，事情就复杂得多。首先你要确定模。由于椭圆函数是周期性的，模肯定是存在的（因为可以在一个周期中提炼一个数出来，而忽略在哪一个周期，而忽略的部分就是模），但是要确定模并计算出余数，这一点就非常复杂了。所以这时候模被数学家称为模形式。它是一个复杂的表达式，而不是一个简单的数。
　　怀尔斯能够把这些理论连在一起，并用它们证明了费马猜想，使费马猜想变成了费马大定理（或者叫费马最后定理），这一方面说明怀尔斯的天才，另一方面也说明了费马猜想的难度超过所有人的想象。差不多400年，费马猜想才得到证明，其中的辛酸，只有全身心地投入证明的数学家才会理解。
　　费马猜想的证明走过很多弯路，最后以惊艳的现代数学画上了一个完美的句话。相比较而言，黎曼猜想的证明进展就要艰难更多。数学家花了40多年才真正计算出了黎曼zeta函数的零点。基本上讲，数学家还必须假设黎曼猜想成立才找得到零点，也就是说还跳不出黎曼猜想的圈子，用更高的视野来俯视黎曼猜想。换句话说，如果数学家找不到不受黎曼猜想限制的零点计算方法，那么数学家就不可能有真正意义的证明。第一步大概率是简单直接的黎曼零点计算算法，然后再探讨黎曼零点位置的数学逻辑。
　　相比较费马猜想，黎曼猜想甚至一般人理解都理解不了，这更会增加证明的难度。从另一方面讲，如果黎曼猜想成立，会有很多关于素数的定理会成立。也就是说，黎曼猜想牵动了非常多的数学内容，而且都是非常高深的数学内容。这也会增加黎曼猜想的证明难度。因为很多数学内容靠黎曼猜想来连接，为了完成这样的连接，数学家要做的工作非常多。任何连接出现问题，都会给黎曼猜想的证明留下阴影。伟岗估计甚至现阶段的数学理论都无法完成这样的连接，所以黎曼猜想的证明需要崭新的数学理论和超强的数学想象力。
　　如果中国人很多对黎曼猜想的理解有一定深度就好了，那么就不会因为阿蒂亚的一个声称加上果壳网编辑的背书就盲目兴奋起来。其实这次对黎曼猜想虚假的狂欢，果壳网这个编辑有重要责任。国外的科学博客也报道了阿蒂亚的断言，不过这些科学博客就有深度得多，它们首先挖出了阿蒂亚原来以前有两次声称证明了数学难题，结果被证明是放空炮。如果果壳网编辑把这个历史事实放到他的微博上，我相信大多数中国人就不会那么盲目。
　　当然把责任都推向果壳网，显然是不公平的。各个流行的数学公众号充满了乐观的报道，甚至百度搜索和百度知道都把这个证明跟黎曼猜想联系在一起（也就是说你搜索黎曼猜想会弹出阿蒂亚已经证明了黎曼猜想的消息），全民狂欢都是基于阿蒂亚是一个真正的数学家这个事实。阿蒂亚得过菲尔兹奖和阿贝尔奖，这两项可以说是数学界的最高奖项。有了这两个光环，很多中国人（包括伟岗）都不太敢质疑阿蒂亚在数学方面的能力。什么时候中国人能放下对权威的敬畏，中国的科学发展就有了希望。
　　好了，今天的篇幅也算长了，很多内容我们以后有机会再继续深入地聊。
　　文章结尾还是做点小广告，希望伟岗的淘宝小店：伟岗飞镖能增加一些流量。也感谢朋友同学们对伟岗的厚爱，因为伟岗飞镖默默无闻的小店竟然有了一些成交！不过，伟岗卖的绝对是真货，这一点可以向大家保证。在飞镖厂家中，目前似乎只有哈路士坚持飞镖全部都在英国生产，这个非常不容易。飞镖源于英国，又在英国根植几百年，其文化底蕴之深，只有爱好飞镖的朋友才会体会。英国原产就能保持英国的原汁原味，就更容易生产精妙的飞镖。