为什么学数学

　　今天这个题目有点大，当然答案也只能各抒己见。这里只是一些伟岗的看法，偏见甚至错误是难免的，也请大家批评指正！
　　文章开始之前，还是感谢朋友同学的鼓励打赏，伟岗也没想到热度竟然会维持这么久！心情的激动自然是难以平复的！
　　首先强调的是，本文很多内容来源于普林斯顿数学数学指南这部书，大家有兴趣可以参考参考，绝对是经典。
　　回答为什么要学数学，可能首先要回答什么是数学以及数学发展的目标是什么。这个问题貌似简单，但真正地回答它，就是数学家都感到苍白无力。
　　在1991年，美国国会曾经举行了一次听证会，目的主要是了解美国庞大的科技支出有没有意义，其中由12位数学家组成的委员会，就被负责预算的官员问到数学科学发展的主要目标是什么？
　　12位数学家只能给出两个叫人能够接受的答案：数学为科学和技术提供基本的工具，另外，数学是人类心智的荣耀。
　　基本工具说没人会反驳，心智的荣耀就产生了截然不同的两个观点。而且似乎现代数学家追求荣耀比把数学用到现实世界更强烈。也就是说，现代数学家已经不太把实际应用放在心里了。
　　但是我们大众更希望数学可以改善我们的生活，面对数学家慢慢远离我们的研究结果，大众除了羡慕，内心深处产生一丝失望。我们为数学家的天才叫好，同时又遗憾这些天分没有改善我们的现状。数学家心智的荣耀是大大发挥出来了，可是这些荣耀什么时候才能普照大地呢？
　　数学从毕达哥拉斯的万物皆数开始，到牛顿微积分对现实物理世界的描述和理解，再到现在舒尔茨p进数勾画的复杂空间，发展可谓一波三折。同时数学又跟其它科学，比如物理，哲学，社会科学交织，冲突，产生的思维深度可以说是没有任何其它学科可以比拟的。人类从简单线性思维的动物演变成了想象力是思维前提的高级思维者。
　　要理解什么是数学，可以先看看数学的发展历程。希腊数学之前，数学还只是一些杂乱无章的数字变化。人类有一定的计算能力，也能用数字表达一些现实社会的事物。但是这些计算和表达没有形成一个体系，谁都无法从中得出固定的公理，定理或定律，从而使数学能够传承下去。没有传承性的计算成不了理论，更不是科学，后人也很难在这些计算中突破发展。
　　希腊数学从毕达哥拉斯开始，慢慢把数学发展成为一门科学。其中欧几里得的几何原本以及阿基米德的很多数学发现等是标志。从这时候开始，数学有了自己的发展路径。
　　可以说直到现在，科学家还是沿着古希腊数学家的指引在探究。由此可见古希腊数学的伟大。数学不再是零散琐碎的记录，而是一条长长的逻辑链条。人们有了公理，有了定理，更有了推论的方法。循着这条路径，人们不断地深入，同时也解开了古希腊数学家给世人留下的疑团和悖论。
　　最早毕达哥拉斯就给后人留下了一个巨大的数学谜团，那就是无理数。这个问题貌似简单，不就是一个无法用分数表示的数吗？承认它存在不就行了？但是无理数的内涵要深刻得多，里面暗藏很多杀机，把它称为第一次数学危机，并不为过。
　　无理数问题，对数学家来说已经完美解决了，但对于我们普通人来讲就未必。随便举个例子，按照数学家的结论，两个有理数之间肯定存在无理数，两个无理数之间也肯定存在有理数，这个叫数的稠密性（数学家的描述是这样的，任何数的集合都存在有理数序列，当然也存在无理数序列）。但是无理数却比有理数多，这也是数学家严格证明了的，作为普通人的你能理解吗？
　　当年集合论的创始人康托尔可能就是被这个问题绕进去了，由于不被当时的数学家理解，最终郁闷到进了疯人院。由此可见这个问题的杀伤力。
　　数学家是这样解释这个问题的，无理数之所以比有理数多，是因为无论你怎么找一个一一对应的关系把无理数跟有理数对应起来，数学家都可以找到你对应关系之外的无理数。也就是说数学家还可以至少找到一个无理数存在，这个无理数不符合你确定的一一对应关系（指无理数跟有理数一一对应的关系）。换句话说，总有无理数多出来，这样就证明了无理数比有理数多。
　　所以到了无穷这个级别，我们普通人的思维就已经赶不上数学家了，这是不是我们必须要学数学的理由？伟岗也不知道。回避深入思考是我们普通人的通病，不过有时候深入思考会带来痛苦，这也许是难免的。毕竟大家生活的目标是好好的活着，不是追求思维的深度。
　　除了无理数，古希腊数学家还给后人挖了其它几个大坑。这些坑都指明了后代数学家努力的方向。第一大坑就是几何原本中的平行公设。
　　过直线外的一点到底能做几条直线的平行线？这个问题又拉开了我们普通人跟数学家的差距。数学家甚至认为，可以假设一条平行线也做不出来，这一点似乎又超过了我们平常人的思维模式。
　　过直线外的一点只能做一条直线的平行线，这个公设下就是欧式几何，或者叫欧式空间。其它就叫非欧几何，或者叫黎曼空间和罗巴切夫斯基空间。我们普通人见到的，想到的，基本都限制在欧式空间。但数学家更喜欢非欧几何，在那里他们才能展开他们天才般的想象，把非欧空间描绘成一个他们心中的世外桃源。而非欧空间还实实在在有实际应用，那就是爱因斯坦发现的弯曲空间。
　　爱因斯坦确实是个天才，他从光速实验发现光的传播其实没有媒介（也就是以太）存在这个事实出发，竟然得出时间也可以是相对的，空间也可以是弯曲的结论，这就是著名的相对论。同样我们普通人现在能够理解相对论的也很少，这说明我们欠债太多了。学数学是不是真的很迫切？
　　古希腊数学还有几个未解之谜给后续的数学家指明了研究的方向，一个就是芝诺悖论，这个触发了微积分的发明。另一个比较重要的就是尺规作图化圆为方，三等分角和倍立方体问题。这三个问题后来发现跟5次方程没有根式解问题一致，也就是说要用群论来解决。这个估计也是很少普通人知道详情。
　　总之，纯粹从学数学这个角度出发，我们普通人可能连古希腊的数学家都不如，要知道那些数学家都生活在公元前5世纪，也就是离现在至少2500多年。我们竟然比不上几千年前的人，是不是有点落后了？
　　希腊之后，数学进入了差不多800年的沉寂，其中虽然有阿拉伯数学家不懈的努力，一方面使得古希腊数学没有失传，另一方面也发展起来代数的雏形，但是总体来讲，进步太小，几乎可以忽略不计。罗马帝国对数学的封杀始终是个谜。不过罗马精英层只顾自己的享乐，把科学发展特别是数学视为迷信和算命学，这大大打击了数学的发展，从某一个方面讲，是打断了数学发展的进程。而且为了统治，罗马官方肆无忌惮的焚烧数学书籍，更是一场人间劫难。要不是阿拉伯人有心把很多古希腊数学文献翻译成阿拉伯文保留下来，古希腊丰富的数学遗产很有可能失传，如果这样的话，那真是人类文明的大灾难。
　　好在人类熬过了古罗马和中世纪的黑暗，文艺复兴又带来了数学的复兴。从数学代数化开始，数学家慢慢把数学抽象化。这样做的结局，是数学研究的进程加快了，特别是费马和笛卡尔引进坐标系，彻底把几何问题转换为代数问题，这把直观的古希腊数学带进了抽象化世界，也为微积分的发明提供了前提。
　　而牛顿莱布尼茨发明微积分，把数学带进分析的世界。这样，运动的规律也可以由数学决定了，甚至不需要几何作图，很多数学难题都可以得到解决。人类的想象力得到大大的拓展。
　　近代乃至现代，在微积分的基础上，数学的发展更是叫人眼花缭乱，一系列的深入探究，数学已不是普通人甚至一般数学家可以完全理解的了。其中高斯，欧拉等数学顶级天才居功至伟。高斯打开了数论研究的大门，我们这个时代伟大的数学家，包括舒尔茨，都是在高斯的基础上得到突破的。可以说没有高斯，我们时代的数学家全部黯然失色。欧拉也是一个承前启后的数学家，没有欧拉，微积分的传播就没有那么迅速。在数学的每个分支，你几乎都可以看到欧拉的影子，他用他的勤奋和天才，创下了任何人都不可能超越的论文量和创新总量。
　　看到上面这些，你一定惊叹数学家发明发现的深邃和宏大，什么是数学也许有了一点概念。然而，现代数学还有另外一股狂潮，这更使得几乎所有的科学家都加入了数学意义的讨论，那就是数学的确定性。哥德尔不完全性定理甚至引发科学家对科学研究局限性的思考，不过今天篇幅也够长了，这些内容我们下一篇再详述。