几何原本命题17命题32

　　在上篇文章《《几何原本》-平面几何基础（1）-定义、公设、公理，命题1~命题16 》中， 我对《几何原本》＂第1卷-平面几何基础＂中的命题1~命题16是如何证明的进行了讲解，这一讲我们继续命题17~命题32的讲解。命题17：在任意三角形中，任何两角之和小于两直角和。
　　已知三角形ABC，延长BC边至D。
　　目标：证明角ABC+角BCA<两直角和。
　　证明：
　　1、因为角ACD是三角形ABC的一个外角，所以角ACD>角ABC。（命题16）
　　2、所以角ACD+角ACB>角ABC+角ACB
　　3、又角ACD+角ACB=两直角和。（命题13）
　　3、所以角ABC+角ACB<两直角和。
　　4、同理，角ABC+角BAC<两直角和，角BAC+角ACB<两直角和。
　　证明完毕。命题18：在任意三角形中，大边对大角。
　　已知三角形ABC中，AC>AB。
　　目标：证明角ABC>角ACB。
　　证明：
　　1、作AD=AB。（命题3）
　　2、连接BD，因为角ADB是三角形BCD外角，所以角ADB>角ACB。（命题16）
　　3、因为AD=AB，所以角ADB=角ABD。（命题5）
　　4、所以角ABD>角ACB。
　　5、又角ABC>角ABD，所以角ABC>角ACB。
　　证明完毕。
　　说明：初中数学教材中，该命题被作为定理直接应用，不过没给出该命题的证明方法。 命题19：在任意三角形中，大角对大边。
　　已知三角形ABC中，角B>角C。
　　目标：证明AC>AB。
　　证明：
　　1、假设AC等于或者小于AB。
　　2、若AC=AB，则角B=角C。（命题5）与已知条件角B>角C不符。所以AC不可能等于AB。
　　3、若AC角C不符。所以AC不可能小于AB。
　　4、所以AC>AB。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明，思想新颖。初中教材中也提及该命题，但未给出证明方法。 命题20：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
　　已知三角形ABC。
　　目标：证明BA+AC>BC、AB+BC>AC、BC+AC>AB。
　　证明：
　　1、延长BA至D，使AD=AC。（命题3）
　　2、连接DC，因为AD=AC，所以角D=角DCA。（命题5）
　　3、而角DCB>角DCA=角D，所以BD>BC。（命题19）
　　4、又因为DB=BA+AD，AD=AC，所以BA+AC>BC。
　　5、同理，AB+BC>AC、BC+AC>AB。
　　证明完毕。
　　说明：初中教材中也提及该命题，但未给出证明方法。 命题21：由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段，那么交点到这两个端点的线段和小于三角形其他两边之和，但是所形成的角大于同一条边对应的原三角形的角。
　　已知三角形ABC及其内任意一点D，连接并延长BD，使其交AC于E。连接CD。
　　目标：BD+DC角A。
　　证明：
　　1、在三角形ABE中，AB+AE>BE。（命题20）。
　　2、所以AB+AE+EC=AB+AC>BE+EC。
　　3、在三角形EDC中，ED+EC>DC。（命题20）
　　4、所以BD+ED+EC=BE+EC>BD+DC。
　　5、于是结合步骤2、步骤4的结论，可得AB+AC>BD+DC。
　　6、因为三角形的外角大于任何一个内对角小（命题16），所以角BDC>角DEC，角DEC>角A。
　　7、所以角BDC>角A。
　　证明完毕。命题22：以分别与三条已知线段相等的线段为三边作三角形：要求给定线段中的任意两条线段之和大于第三条线段，因为在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
　　已知三条线段A、B、C，且其中任意两条线段之和大于第三条线段。
　　目标：以与线段A、B、C长度相等的线段为三边作三角形。
　　证明：
　　1、已知DE为任意直线，一端为D，沿E方向可无限延长。
　　2、作DF=A，FG=B，GH=C。（命题3）
　　3、以点F为圆心，FD为半径作圆DKL。
　　4、以G为圆心，GH为半径作圆KHL与圆DKL相交于点K、L。
　　5、连接FK、KG。
　　6、因为F为圆DKL圆心，所以FK=FD=A；
　　7、因为G为圆KHL圆心，所以KG=GH=C；
　　8、又因为FG=B，所以三角形FKG三边FK、KG和FG分别等于A、C、B。
　　证明完毕。命题23：在已知直线和它上面的一点，作一个直线角等于已知直线角。
　　已知直线角C，直线AB以及直线AB上点A。
　　目标：过点A及直线AB作直线角等于已知直线角C。
　　已知直线角C以及直线AB，在AB上作直线角等于角C
　　证明：
　　1、在直线角C两边上取两点D、E，连接DE。
　　2、作三角形AFG，使三边AF、FG、AG分别等于CD、DE、CE。（命题22）
　　3、因为三角形CDE、三角形AFG三边分别相等，所以角C=角A。（命题8）
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明，主要是为命题24、命题31的证明作铺垫 。命题24：如果两个三角形中分别有两条边对应相等，若一个三角形中的一个夹角比另一个三角形中的夹角大，那么夹角大的所对的边也比较大。
　　已知在三角形ABC与三角形DEF中，AB=DE，AC=DF，角A>角EDF。
　　目标：证明BC>EF。
　　证明：
　　1、以DE为边，D为顶点作角EDG=角A。（命题23）
　　2、作图使DG=AC，连接EG、GF。（命题3）
　　3、因为角EDG=角A，AC=DG，AB=DE，所以BC=EG。（命题4）
　　4、因为DG=AC，AC=AF，所以DG=AF，于是角DGF=角DFG。（命题5）
　　5、因为角DGF>角EGF，所以DFG>角EGF。
　　6、又角EFG>角DFG，所以角EFG>角EGF。
　　7、于是在三角形EFG中，EG>EF。（命题19）
　　8、又BC=EG，所以BC>EF。
　　证明完毕。命题25：如果两个三角形有两条对应边相等，则第三边越长，其所对应的角越大。
　　已知三角形ABC、DEF中，AB=DE，AC=DF，BC>EF。
　　目标：证明角A>角D。
　　证明：
　　1、假设角A不大于角D，即角A=角D或者角A<角D。
　　2、若角A=角D，则BC=EF（命题4），与已知条件BC>EF矛盾，所以角A不等于角D。
　　3、若角A<角D，则BCEF矛盾，所以角A不小于角D。
　　4、因此假设不成立，所以角A>角D。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明。 命题26：如果在两个三角形中，有两对角分别相等，且有一条边相等——这条边或者是等角之间的边，或者是任意等角的对边——那么这两个三角形的其他边和角都对应相等。
　　已知在三角形ABC、DEF中，角ABC=角E，角ACB=角F，且两个三角形有一条边相等。
　　目标：证明这两个三角形其他边和角都对应相等。
　　情况一：这条相等的边是两对相等角之间的边，即BC=EF。
　　证明：
　　1、假设AB不等于DE，且AB>DE。
　　2、在AB上取一点G，使BG=DE（命题3），连接GC。
　　3、因为BG=ED，BC=EF，角ABC=角E,所以三角形BGC与三角形EDF全等，角GCB=角F。（命题4）
　　4、而角ACB>角GCB，角ACB=角F，所以角F>角GCB，这与步骤3得出的角GCB=角F矛盾。
　　5、所以假设不成立，因此AB=DE。
　　6、因为AB=DE，BC=EF，角ABC=角E，所以三角形ABC与三角形DEF全等，因此角BAC=角D，AB=DE，AC=DF。（命题4）
　　证明完毕。
　　情况二：等角对应的边相等，如AB=DE或者AC=DF，这里取AB=DE。
　　证明：
　　1、假设BC不等于EF，且BC>EF。
　　2、在BC上取一点H，使BH=EF。（命题3）
　　3、因为AB=DE，角B=角E，BH=EF，于是三角形ABH与三角形DEF全等，所以角BHA=角F。（命题4）
　　4、在三角形AHC中，外角BHA>内角C。（命题16）
　　5、于是角F>角ACB，这与角F=角ACB矛盾，所以＂假设BC不等于EF＂不成立。
　　6、于是BC=EF，又AB=DE，角ABC=角E，所以三角形三角形ABC与三角形DEF全等，因此角BAC=角D，BC=EF，AC=DF。（命题4）
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明。初中教材中直接摆出结论＂两角一边对应相等的两个三角形全等＂，但未给出证明方法。 命题27：如果一条直线与两条直线相交，内错角相等，则两直线平行。
　　已知直线EF与直线AB、CD相交于E、F，内错角AEF=角EFD。
　　目标：证明直线AB平行于CD。
　　证明：
　　1、假设AB不与CD平行，在B、D方向相交于点G。
　　2、在三角形EFG中，外角AEF>角EFD（命题16），这与已知角AEF=角EFD矛盾。
　　3、于是假设不成立，因此AB与CD平行。
　　4、同理，可证明AB与CD在A、C方向不相交。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明。初中教材中提及该命题，但未给出证明方法。 命题28：如果一条直线与两条直线相交，同位角相等，或同旁内角之和等于两直角和，则这两条直线平行。
　　已知EF与直线AB、CD相交于G、H，同位角EGB=GHD或者同旁内角BGH与角GHD两角之和等于两直角和。
　　目标：证明AB平行于CD。
　　证明：
　　第一种情况：同位角EGB=角GHD。
　　1、对顶角EGB=角AGH。（命题15）
　　2、因为角EGB=角GHD，所以内错角AGH=角GHD，所以AB平行于CD。（命题27）
　　证明完毕。
　　第二种情况：同旁内角BGH与角GHD两角之和等于两直角和。
　　1、角AGH与角BGH之和等于两直角和。（命题13）
　　2、又角BGH与角GHD两角之和等于两直角和，所以内错角AGH=角GHD，所以AB平行于CD。（命题27）
　　证明完毕。
　　说明：初中教材中提及该命题，但未给出证明方法。 命题29：如果一条直线与两条平行线相交，那么内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于两直角和。
　　已知AB平行于CD，EF与AB、CD相交于G、H。
　　目标：证明内错角AGH=角GHD，同位角EGB=角GHD，且同旁内角BGH与角GHD的和等于两直角和。
　　证明：
　　1、假设角AGH不等于角GHD,且角AGH>角GHD。
　　2、角AGH+角BGH=两直角和。（命题13）
　　3、又角AGH>角GHD，所以角GHD+角BHD<两直角和。
　　4、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直线和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。（公设5）
　　5、又角GHD+角GHD<两直角和，所以AB、CD无限延长后相交。这与AB、CD平行矛盾，因此假设错误，角AGH=角GHD。
　　6、又对顶角AGH=角EGB（命题15），所以角EGB=角GHD。
　　7、又角EGB+角BGH=两直角和（命题13），所以角GHD+角BGH=两直角和。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明。初中教材中也提及该命题，但未给出证明方法。 命题30：平行于同一直线的直线相互平行。
　　已知直线AB平行于EF，直线CD平行于EF。
　　目标：证明直线AB平行于CD。
　　证明：
　　1、作直线GK与直线AB、CD、EF相交于G、K、H。
　　2、因为GK与平行线AB、EF相交，所以角AGK=角GHF。（命题29）
　　3、又因为GK与平行线EF、CD相交，所以角GHF=角GKD。（命题29）
　　4、所以角AGK=角GKD，因为这两个角是内错角，所以AB平行于CD。（命题27）
　　证明完毕。
　　说明：初中教材中也提及该命题，但未给出证明方法。 命题31：过给定点，作一条直线与已知直线平行。
　　已知BC是已知直线，点A是BC外任意一点。
　　目标：过点A作一条直线平行于BC。
　　证明：
　　1、在BC上任取一点D，连接AD。
　　2、以A为顶点作角DAE=角ADC。（命题23）
　　3、延长EA至F。
　　4、因为AD与直线EF、BC相交，内错角角DAE=角ADC，所以直线EAF平行于BC。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明，主要是为命题32的证明作铺垫 。命题32：在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于两个内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于两个直角和。
　　已知三角形ABC，延长BC至D。
　　目标：证明角ACD=角A+角B，角A+角B+角BCA=两个直角和。
　　证明：
　　1、过点C作直线CF平行于AB。（命题31）
　　2、因为CE平行于AB，所以内错角ECA=角A，同位角ECD=角B。（命题29）
　　3、又角ACD=角ECA+角ECD，所以角ACD=角A+角B。
　　4、又角ACD+角ACB=两直角和。（命题13）
　　5、所以ACD+角ACB=角A+角B+角ACB=两直角和。
　　证明完毕。
　　说明：初中教材中也提及该命题，但未给出证明方法。
　　好了，今天的讲解就到这里了。
　　下一讲我将带着大家继续讲解命题33-命题48。
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