几何原本证明勾股定理的过程究竟有多难？

　　勾股定理在西方被称作毕达哥拉斯定理，据说是毕达哥拉斯最先发现的，不过他没有留下勾股定理的证明资料，今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明方法，是欧几里得在《几何原本》＂第1卷 平面几何基础＂ 命题47中给予的证明。
　　下面让我们来看看《几何原本》中是如何证明勾股定理的：命题47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹直角两边上的正方形的面积和。
　　已知三角形ABC，角BAC是直角。
　　目标：证明以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
　　证明：
　　1、以AB、AC、BC为边做正方形ABFG、ACKH、BCED。（命题46）
　　2、过点A作AL平行于BD。（命题31）
　　3、连接AD、FC。
　　4、因为BAC、BAG为直角，所以AC、AG共线。（命题14）
　　5、同理，AB、AH共线。
　　6、因为角DBC=角FBA，角ABC=角CBA，所以角ABD=角FBC。
　　7、又BD=BC，AB=BF，所以三角形ABD与三角形FBC全等。（命题4）
　　8、因为三角形ABD与平行四边形BDLI共底BD，且在平行线BD、AL之间，所以平行四边形BDLI面积是三角形ABD面积的2倍。（命题41）
　　9、又因为三角形FBC与平行四边形FBAG共底FB，且在平行线FB、GC之间，所以平行四边形FBAG面积是三角形FBC面积的2倍。（命题41）
　　10、因此平行四边形BDLI面积等于平行四边形FBAG。
　　11、连接BK、AE。同理，平行四边形ILEC面积等于平行四边形ACKH。
　　12、所以正方形BDEC的面积等于正方形GFBA、ACKH面积之和。
　　所以以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
　　证明完毕。
　　《几何原本》＂第1卷 平面几何基础＂共有48个命题，其中命题47对勾股定理进形了证明，命题48对勾股定理的逆定理进行了证明。这48条定理全部是以23条定义、5条公设、5条公理为基础推导出来的。
　　我们做一个统计就会发现：为了证明勾股定理（命题47），欧几里得需要引用3条定义、4条公设、5条公理以及用到25个命题的结论。
　　下面我将勾股定理（命题47）需要用上的定理、公设、公理全部列出来：
　　勾股定理（命题47）：46、41、31、14、4。
　　命题46：34、31、29、11、3、定义22。
　　命题41：37、34。
　　命题37：35、34、31。
　　命题35：34、29、4。
　　命题34：29、26、4。
　　命题31：27、23。
　　命题29：15、13、公设5、定义23。
　　命题27：16、定义23。
　　命题26：16、4、3。
　　命题23：22、8。
　　命题22：3。
　　命题16：15、10、4、3。
　　命题15：13、公理1、公理3。
　　命题14：13、公理1、公理3。
　　命题13：11、公理1、公理2、定义10。
　　命题11：8、3、1、定义10。
　　命题10：9、4、1。
　　命题9：8、3、1。
　　命题8：7、公理4。
　　命题7：5、公理5。
　　命题5：4、3、公理3、公设1、公设2。
　　命题4：公理4、公设1。
　　命题3：2、公理1、公设3。
　　命题2：1、公理1、公设1、公设2、公设3。
　　命题1：公理1、定义15、公设1、公设3。
　　通过上面的展示，我们会发现，要证明勾股定理，欧几里得需要先证明出这25个命题：命题1~5、命题7~11、命题13~命题16、命题22~23、命题26~27、命题29、31、34、35、37、41、46。同时还需引用定义10、22、23，使用公设1、2、3、5，公理1~5的结论。
　　从中，我们可以看出欧几里得要证明勾股定理是非常不容易的。
　　下面，我将勾股定理需要用到的25个定理的证明过程、以及3条定义、4条公设、5条公理全部列出来，大家如果感兴趣的话，可以继续阅读。命题46：在已知线段上作正方形。
　　已知AB是给定线段。
　　目标：以AB为边作正方形。
　　证明：
　　1、过线段AB上点A作AC垂直于AB。（命题11）
　　2、取AD=AB。（命题3）
　　3、过点D作DE平行于AB。（命题31）过点B作BE平行于AD。（命题31）
　　4、所以ABED是平行四边形，所以AB=DE，AD=BE。（命题34）
　　5、又AB=AD，所以AB=DE=AD=BE。
　　6、因为AC垂直AB，所以角A是直角。
　　7、因为ABED是平行四边形，所以角E=角A，角E是直角。（命题34）
　　8、因为AB平行DE，所以角A+角ADE=两直角和。（命题29）
　　9、因为角A是直角，所以角ADE是直角。
　　10、又角B=角ADE。（命题34）因为角ADE是直角，所以角B是直角。
　　11、于是平行四边形ABED四边相等，四个都是直角，因此ABED是正方形。（定义22）
　　证明完毕。命题41：如果平行四边形和三角形既同底又在相同的平行线之间，那么平行四边形是三角形面积的二倍。
　　已知平行四边形ABCD与三角形EBC有公共边BC，且在平行线BC和AE之间。
　　目标：证明平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的二倍。
　　证明：
　　1、连接AC。因为三角形ABC、BCE有公共底边BC，又在平行线AE、BC之间，所以三角形ABC、BCE面积相等。（命题37）
　　2、又AC二等分平行四边形ABCD。（命题34）所以三角形ABC面积是平行四边形ABCD面积的一半。
　　3、所以平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的2倍。
　　证明完毕。命题37：在同底上且在相同平行线之间的三角形彼此面积相等。
　　已知三角形ABC、BCD有公共边BC，且两三角形在平行线AD、BC之间。
　　目标：证明三角形ABC、BCD面积相等。
　　证明：
　　1、直线AD向两端分别延申至E、F，过点B作直线BE平行于AC，过点C作直线CF平行于BD。（命题31）
　　2、因为AE平行于BC，BE平行于CA，所以内错角ABC=角BAE，内错角CAB=角EBA。（命题29）所以角EAC=角EBC。
　　3、又AB=BA，于是三角形EAB与三角形CBA全等，AE=BC，EB=AC，角E=角ACB。（命题26）
　　4、又角EAC=角EBC，所以四边形EBCA是平行四边形。（定义22）同理，BCFD是平行四边形。
　　5、于是平行四边形EBCA、BCFD面积相等。（命题35）
　　6、又三角形ABC、BDC面积分别为平行四边形EBCA、BCFD面积的一半（命题34），所以三角形ABC、BDC面积相等。
　　证明完毕。命题35：同底且在相同平行线之间的平行四边形面积彼此相等。
　　已知平行四边形ABCD和BCFE，它们有共同的底边BC且在相同平行线BC、AF之间。
　　目标：证明平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
　　证明：
　　1、因为ABCD是平行四边形，所以BC=AD。（命题34）
　　2、同理BC=EF，所以AD=EF，进而AE=DF。
　　3、因为ABCD是平行四边形，所以AB=CD，角A=角BCD。（命题34）
　　4、又BC与AF平行，所以内错角BCD=角CDF（命题27）。于是角A=角CDF。
　　5、于是在三角形ABE与三角形DCF中，角A=角CDF，AB=CD，AE=DF，所以三角形ABE与三角形DCF全等。（命题4）
　　6、两三角形同时减去三角形DEG，于是四边形ABGD与四边形EGCF面积相等。
　　7、两四边形再同时加上三角形BCG，于是平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
　　证明完毕。命题34：平行四边形的对边对角彼此相等，且对角线二等分平行四边形。
　　已知ACDB是平行四边形，BC是对角线。
　　证明：
　　1、因为ACDB是平行四边形，所以AB=CD，AC=BD，角A=角D。（定义22）
　　2、于是三角形ABC与三角形DCB全等（命题4）。
　　3、所以对角线CB平分平行四边形ACDB。
　　证明完毕。命题31：过给定点，作一条直线与已知直线平行。
　　已知BC是已知直线，点A是BC外任意一点。
　　目标：过点A作一条直线平行于BC。
　　证明：
　　1、在BC上任取一点D，连接AD。
　　2、以A为顶点作角DAE=角ADC。（命题23）
　　3、延长EA至F。
　　4、因为AD与直线EF、BC相交，内错角角DAE=角ADC，所以直线EAF平行于BC。
　　证明完毕。命题29：如果一条直线与两条平行线相交，那么内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于两直角和。
　　已知AB平行于CD，EF与AB、CD相交于G、H。
　　目标：证明内错角AGH=角GHD，同位角EGB=角GHD，且同旁内角BGH与角GHD的和等于两直角和。
　　证明：
　　1、假设角AGH不等于角GHD,且角AGH>角GHD。
　　2、角AGH+角BGH=两直角和。（命题13）
　　3、又角AGH>角GHD，所以角GHD+角BHD<两直角和。
　　4、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直线和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。（公设5）
　　5、又角GHD+角GHD<两直角和，所以AB、CD无限延长后相交。这与AB、CD平行矛盾，因此假设错误，角AGH=角GHD。
　　6、又对顶角AGH=角EGB（命题15），所以角EGB=角GHD。
　　7、又角EGB+角BGH=两直角和（命题13），所以角GHD+角BGH=两直角和。
　　证明完毕。命题27：如果一条直线与两条直线相交，内错角相等，则两直线平行。
　　已知直线EF与直线AB、CD相交于E、F，内错角AEF=角EFD。
　　目标：证明直线AB平行于CD。
　　证明：
　　1、假设AB不与CD平行，在B、D方向相交于点G。
　　2、在三角形EFG中，外角AEF>角EFD（命题16），这与已知角AEF=角EFD矛盾。
　　3、于是假设不成立，因此AB与CD平行。
　　4、同理，可证明AB与CD在A、C方向不相交。
　　证明完毕。命题26：如果在两个三角形中，有两对角分别相等，且有一条边相等——这条边或者是等角之间的边，或者是任意等角的对边——那么这两个三角形的其他边和角都对应相等。
　　已知在三角形ABC、DEF中，角ABC=角E，角ACB=角F，且两个三角形有一条边相等。
　　目标：证明这两个三角形其他边和角都对应相等。
　　情况一：这条相等的边是两对相等角之间的边，即BC=EF。
　　证明：
　　1、假设AB不等于DE，且AB>DE。
　　2、在AB上取一点G，使BG=DE（命题3），连接GC。
　　3、因为BG=ED，BC=EF，角ABC=角E,所以三角形BGC与三角形EDF全等，角GCB=角F。（命题4）
　　4、而角ACB>角GCB，角ACB=角F，所以角F>角GCB，这与步骤3得出的角GCB=角F矛盾。
　　5、所以假设不成立，因此AB=DE。
　　6、因为AB=DE，BC=EF，角ABC=角E，所以三角形ABC与三角形DEF全等，因此角BAC=角D，AB=DE，AC=DF。（命题4）
　　证明完毕。
　　情况二：等角对应的边相等，如AB=DE或者AC=DF，这里取AB=DE。
　　证明：
　　1、假设BC不等于EF，且BC>EF。
　　2、在BC上取一点H，使BH=EF。（命题3）
　　3、因为AB=DE，角B=角E，BH=EF，于是三角形ABH与三角形DEF全等，所以角BHA=角F。（命题4）
　　4、在三角形AHC中，外角BHA>内角C。（命题16）
　　5、于是角F>角ACB，这与角F=角ACB矛盾，所以＂假设BC不等于EF＂不成立。
　　6、于是BC=EF，又AB=DE，角ABC=角E，所以三角形三角形ABC与三角形DEF全等，因此角BAC=角D，BC=EF，AC=DF。（命题4）
　　证明完毕。命题23：在已知直线和它上面的一点，作一个直线角等于已知直线角。
　　已知直线角C，直线AB以及直线AB上点A。
　　目标：过点A及直线AB作直线角等于已知直线角C。
　　已知直线角C以及直线AB，在AB上作直线角等于角C
　　证明：
　　1、在直线角C两边上取两点D、E，连接DE。
　　2、作三角形AFG，使三边AF、FG、AG分别等于CD、DE、CE。（命题22）
　　3、因为三角形CDE、三角形AFG三边分别相等，所以角C=角A。（命题8）
　　证明完毕。命题22：以分别与三条已知线段相等的线段为三边作三角形：要求给定线段中的任意两条线段之和大于第三条线段，因为在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
　　已知三条线段A、B、C，且其中任意两条线段之和大于第三条线段。
　　目标：以与线段A、B、C长度相等的线段为三边作三角形。
　　证明：
　　1、已知DE为任意直线，一端为D，沿E方向可无限延长。
　　2、作DF=A，FG=B，GH=C。（命题3）
　　3、以点F为圆心，FD为半径作圆DKL。
　　4、以G为圆心，GH为半径作圆KHL与圆DKL相交于点K、L。
　　5、连接FK、KG。
　　6、因为F为圆DKL圆心，所以FK=FD=A；
　　7、因为G为圆KHL圆心，所以KG=GH=C；
　　8、又因为FG=B，所以三角形FKG三边FK、KG和FG分别等于A、C、B。
　　证明完毕。命题16：在任意三角形中，延长一边，所形成的外角大于任何一个内对角。
　　已知三角形ABC，延长BC至D。目标：证明角ACD大于内角CAB、ABC中任何一个。
　　证明：
　　1、作AC的二等分点E。（命题10）
　　2、连接BE并延长至F，使EF=BE。（命题3）
　　3、连接CF，延长AC至G。
　　4、因为AE=EC，BE=EF，角AEB=角CEF。（命题15）所以三角形BEA与三角形FEC全等。（命题4）
　　5、所以角BAE=角FCE。
　　6、又角ACD大于角FCE，所以角ACD大于角BAE。
　　7、同理，二等分BC，可证角ACD大于角ABC。
　　证明完毕。  命题15:如果两直线相交，则它们所成的对顶角相等。
　　已知直线AB、CD相交于E。目标：证明角AEC=角DEB，角CEB=角AED。
　　证明：
　　1、依据命题13，可知角AEC、角AED之和等于两直角之和，角AEC、角CEB之和等于两直角之和。
　　2、所以角AEC+角AED=角AEC+角CEB。
　　3、等式两边减去角AEC，可得角AED=角CEB。（公理3）
　　4、同理，可证明角AEC=角DEB。
　　证明完毕。  命题14：如果过某一直线上任意一点且在该直线的两边有两条直线，且这两条直线与该直线所形成的两邻角之和等于两直角和，那么这两条直线在同一直线上。
　　已知直线AB，在点B两侧有两条直线BC、BD，且角ABC与角ABD之和等于两直角和。
　　目标：证明BC、BD在同一条直线上。
　　证明：
　　1、假设CB、CD不在同一直线上，过点B作直线BE，且CB、BE在同一直线上。
　　2、所以角ABC、角ABE之和等于两直角和。（命题13）
　　3、又角ABC、角ABD之和等于两直角和，所以角ABE等于角ABD。（公理3）
　　4、而BE与BD不共线，所以ABE与角ABD不相等，这与步骤3得出的角ABE等于角ABD的结论矛盾，因此假设不成立，所以BC、BD在同一条直线上。
　　证明完毕。  命题13：一条直线和另一条直线相交所成的角，要么是两个直角，要么它们的和等于两个直角。
　　已知直线AB、CD相交于B。
　　目标：证明角ABC与角ABD是两直角或者角ABC与角ABD之和等于两个直角。
　　证明：
　　1、若角ABC=角ABD，那么它们是两直角。（定义10）
　　2、若角ABC与角ABD不相等，过点B作EB垂直于CD。（命题11）
　　3、所以角EBD和角EBC是两个直角。
　　4、又因为角CBE=角CBA+角ABE，所以角EBD+角EBC=角EBD+角CBA+角ABE。（公理2）
　　5、因为角DBA=角DBE+角EBA，所以角DBA+角ABC=角EBD+角ABE+角CBA（公理2）
　　6、所以角EBD+角EBC=角DBA+角ABC。（公理1）
　　7、因为角EBD、角EBC是两直角，所以角DBA与角ABC的和等于两直角之和。
　　证明完毕。  命题11：由给定的直线上一已知点作一直线和给定的直线成直角。
　　已知直线AB及AB上一点C。目标：过点C作一条直线与线段AC、CB成直角。
　　证明：
　　1、在AC上任取一点D，在CB上作CE=CD。（命题3）
　　2、以DE为边作等边三角形FDE。（命题1）
　　3、因为CE=CD，FD=FE，FC=FC，所以三角形FDC与三角形FEC全等。（命题8）
　　4、所以角FCD=角FCE。
　　5、如果两条直线相交，形成两个相邻的相等角，那么这两个角均为直角。（定义10）
　　6、所以角DCF与角FCE均为直角。
　　证明完毕。  命题10：二等分已知线段。
　　已知直线AB。目标：平分直线AB。
　　证明：
　　1、以AB为边作等边三角形ABC。（命题1）
　　2、作直线CE平分角ACB。（命题9）
　　3、所以角ACD=角DCB。又CA=CB，CD=CD，所以三角形ACD与三角形BCD全等。（命题4）
　　4、所以AD=DB，直线AB被点D二等分。
　　证明完毕。  命题9：二等分一个已知直线角。
　　已知角BAC。目标：过点A作直线平分角BAC。
　　证明：
　　1、在AB上取一点D，在AC上作AE，使AE=AD。（命题3）
　　2、连接DE，以DE为边作等边三角形DEF。（命题1）
　　3、连接AF。因为AD=AE，DF=EF，AF=AF，所以角DAF=角EAF。（命题8）
　　4、所以角BAC被直线AF平分。
　　证明完毕。  命题8：如果一个三角形的三条边与另外一个三角形的三条边都相等，那么等边所夹的角也相等。
　　证明：
　　1、设三角形三条边互相相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。
　　2、将三角形ABC移至三角形DEF上。让点B落在E上，线段BC放在EF上。
　　3、因为BC=EF，所以点C与点F重合。
　　4、因为BC与EF重合，所以BA、CA分别与ED、FD重合。
　　5、假设BC与EF重合，BA、CA与ED、FD不重合，而是落在EG、FG上。
　　6、那么ED=EG，DF=GF。又三角形DEF、GEF共底边EF，与＂命题7：过线段两端点引出的两条线段交于一点，则不可能在该线段的同侧作出相交于另一点的两条线段，分别等于前两条线段＂矛盾。
　　7、所以步骤五假设不成立，所以BA、CA分别与ED、FD重合。
　　8、所以角BAC=角EDF。
　　证明完毕。  命题7：过线段两端点引出的两条线段交于一点，则不可能在该线段的同侧作出相交于另一点的两条线段，分别等于前两条线段。
　　在已知线段AB两端引出两条AC、BC交于AB上方C点。
　　假设能在线段AB两端引出两条AD、BD交于AB上方D点，并使AC=AD，BC=BD。
　　目标：证明AC、BC不可能同时等于AD、BD。
　　证明：
　　1、因为AC=AD，所以角ACD=角ADC。（命题5）
　　2、因为角ACD=角ADC，所以角ADC>角DCB，进而角CDB>角DCB。（公理5）
　　3、因为BC=BD，所以角CDB=角DCB。（命题5）
　　4、所以步骤2中结论＂角CDB>角DCB＂与步骤3中＂角CDB=角DCB＂存在矛盾，所以假设错误。即AC、BC不可能同时等于AD、BD。
　　证明完毕。  命题5：在等腰三角形中，两底角彼此相等，若向下延长两腰，则在底边下面的两个角也彼此相等。
　　已知等腰三角形ABC中，AB=AC，延长AB至D，AC至E。取AF=AG，连接CF、BG。
　　目标：证明角ABC=角ACB，角FBC=角GCB。
　　AB=AC，AF=AG
　　证明：
　　1、因为AF=AG，AC=AB，角FAC=GAB，所以三角形AFC与三角形AGB全等。（命题4）
　　2、因为三角形AFC与三角形AGB全等，所以角ACF=角ABG，角AFC=角AGB，CF=BG。（命题4）
　　3、因为AF=AG，AB=AC，所以BF=CG。（公理3）
　　4、因为BF=CG、CF=BG、角AFC=角AGB，所以三角形FCB全等于三角形GBC。（命题4）
　　5、因为三角形FCB全等于三角形GBC， 所以角FBC=角GCB ，角BCF=角CBG。
　　6、因为步骤2已证明角ACF=角ABG，又步骤5已证明角BCF=角CBG， 所以角ABC=角ACB 。（公理3）
　　证明完毕。
　　说明：该命题证明，等腰三角形两底角相等。初中教材中提及该命题，但未给出证明方法。  命题4：如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，且相等线段所夹的角相等，那么，它们的底边相等，两个三角形全等，且其余的角也分别等于相应的角，即等边所对的角。
　　已知线段AB=DE，AC=DF，角A=角D。目标：证明三角形ABC全等于三角形DEF。
　　已知线段AB=DE，AC=DF，角A=角D
　　证明：
　　1、如果把三角形ABC移动至三角形DEF上，点A落在点D上，直线AB放在DE上。
　　2、因为AB=DE，所以点B与点E重合。
　　3、因为角A=角D，线段AB与DE重合，所以AC与DF重合。
　　4、又因为AC=DF，所以点C与点F重合。
　　5、点B已经确定与点E重合，又点C与点F重合，所以BC与EF重合，BC=EF。
　　6、如果B与E重合，C与F重合，而BC与EF不重合，那么两条直线会围成一块有长有宽的区域，这是不可能的。（公设1）
　　7、所以底边BC与底边EF重合，三角形ABC与三角形DEF重合，于是它们全等。（公理4）
　　8、因为三角形ABC与三角形DEF全等，所以角B与角E重合，角C与角F重合。（公理4）
　　9、所以角B=角E，角C=角F。之前已证明BC=EF。
　　证明完毕。
　　说明：该命题证明，如果两个三角形两边相等，且两边间的夹角也相等，那么这2个三角形全等。初中数学教材中，将该命题被作为判定两个三角形是否全等的依据之一（边角边），不过没给出该命题的证明方法。  命题3：两条不相等的线段，在长的线段上可以截取一条线段使它等于另一条线段。
　　已知线段AB、CD，其中线段AB长于线段CD。目标：在线段AB上截取一段，使其等于线段CD。
　　已知线段AB、CD，CD>AB
　　证明 ：
　　1、由C作线段CE=AB。（命题2）
　　2、以C为圆心，CE为半径画圆AFE。（公设3）
　　3、因为C是圆心，所以CF=CE。（定义15）
　　4、又AB=CE，CF=CE，所以AB=CF。（公理1）
　　因此，已知两条不相等线段AB、CD，从CD上截取的线段CF=AB。
　　证明完毕。  命题2:由一个已知点可以作一条线段等于已知线段。
　　点A为已知点、线段BC为已知线段。目标：过A点作一条线段等于BC。
　　已知点A、直线BC。
　　证明 ：
　　1、连接AB，得到直线AB。（公设1）
　　2、在AB上作等边三角形DAB。（命题1）
　　3、分别延迟DA、DB成直线AE、BF。（公设2）
　　4、以B为圆心，BC为半径，作圆CGH。（公设3）
　　5、再以D为圆心，DG为半径，作圆GKL。（公设3）
　　6、因为B是圆CGH的圆心，所以BC=GH。（定义15）
　　7、同理，因为D是圆GKL的圆心，所以DL=DG。（定义15）
　　8、又DA=DB，所以AL=BG。（公理3）
　　9、又BC=BG，AL=BG，所以BC=AL。（公理1）
　　因此，过A点可作线段AL等于已知线段BC。
　　证明完毕。  命题1:在一个已知有限直线上可以作一个等边三角形。
　　已知给定线段为AB。目标：在线段AB上作等边三角形。
　　AB为已知直线
　　证明 ：
　　1、以点A为圆心，线段AB长为半径作圆BCD。（公设3）
　　2、再以点B为圆心，线段BA长为半径作圆ACE。（公设3）
　　3、从两圆交点C，作线段CA、CB。（公设1）
　　4、因为点A是圆CDB的圆心，所以AC=AB。（定义15）
　　5、同理，因为点B是圆ACE的圆心，所以BC=BA。（定义15）
　　6、因为AB=AC，AB=BC，所以AC=BC=AB。（公理1）
　　因此，三角形ABC是等边三角形。且是在给定线段AB上作出来的。
　　证明完毕。
　　公理1：等于同量的量彼此相等。
　　公理2：等量加等量，其和仍相等。
　　公理3：等量减等量，其差仍相等。
　　公理4：彼此能够重合的物体是全等的。
　　公理5：整体大于部分。
　　公设1：过任意两点可以作一条直线。
　　公设2：一条有限直线可以继续延长。
　　公设3：以任意点为圆心，任意长为半径，可以画圆。
　　公设4：凡直角都彼此相等。
　　公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。
　　23条定义：
　　1、点不可再分割。 2、线只有长度而没有宽度。
　　3、线的两端是点。 4、直线是它上面的线一样地平铺的线。
　　5、面只有长度和宽度。 6、面的边是线。
　　7、平面是它上面的线一样地平铺的线。
　　8、平面角是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。
　　9、当含有角的两条线成一条直线时，这个角称为平角。
　　10、当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
　　11、当一个角大于直角时，该角为钝角。 12、当一个角小于直角时，该角为锐角。
　　13、边界是物体的边缘。 14、图形是由一个边界或几个边界所围成的。
　　15、圆是由一条线围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接的所有线段都相等。
　　16、而且把这个点叫做圆心。
　　17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分。
　　18、半圆是直径和由它截得的圆周所围成的图形，而且半圆的心和圆心相同。
　　19、直线形是由直线所围成的，三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。
　　20、在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形。
　　21、此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
　　22、在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且角不是直角的，叫做平行四边形；其余四边形叫做不规则四边形。
　　23、平行直线是在同一个平面内的一些直线，向两个方向无限延伸，在不论哪个方向他们都不相交。
　　好了，这一讲就到这了。
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