现代数学因内在的需求而采取了演绎方法，演绎最明显的特色是，由基本定义与公理出发，经过逻辑推论到所有定理的发展。人类去了解事物的表象与本质，在没有坠入不可知的深渊前，必定会在某些直觉上认为意义相当清晰的概念处停住，这些概念我们称为基础概念。以后理论发展的过程中，一切概念都要由这些基础概念定义出来，否则便不能采用。在联系基础概念的叙述中，又必须挑出最明白的作为出发点，这些叙述我们称为公理。演绎系统中，基础概念原来的具体内容已抛弃，所以可用其他的具体事物来解释它，任何这种解释如果又满足所有公理，则这套解释构成原来理论的一个模型。演绎的方法可以极大程度的消去我们认识上的不清与错误，如果有怀疑的余地，也都回归到对基础概念及公理的怀疑。数学基本上处理物体间量的关系以及空间的样式，而与物体实际的物理性质无关，数学只在抽象的概念与它们间的关系中发展，数学的论断不能由实验中得到，就是量上一千万个三角形，也不能因而断言所有三角形三内角和是一百八十度。 自然科学的理论通常都有一定的适用范围，例如物体在远低于光速的速度运动时，它的质量可看为常数，但是一旦加速到近于光速时，质量便有显著的增加。然而数学的理论一旦建立便不再动摇，因为演绎法的每一步推理，都在严格的逻辑条件管制下，而又不能引用不曾从基础概念定义来的概念，所以数学的系统脉络分明，结论精确不移。唯一可以有怀疑的便是基础概念与公理，但是人要不落入不可知的深渊，必须接受一些自明的真理，否则便无知识可言，因此数学的基础是稳固的。现代工程技术日趋精密，使得数据的计算更加繁杂更需精确，譬如在核能工程的设计上，有时小数点后十二位的误差，都会导致荒缪的结论。数学的概念是人类活动不断在人脑留下痕迹，人脑逐步主动反映外在具体事物，分析并推广无数量的具体经验，经过漫长岁月发展出来的，因为日渐熟练的运用已有的抽象概念，便再一步推广与抽象，得到更加深刻的观念。数学绝非空洞的符号游戏，它的最终研究对象就是客观的世界。数学发展的特色之一是建立内在自动推论的机制，譬如算术的推论过程，就是由数本身的代数演算规则完全代替。微积分代替了几何加上极限这种复杂的推论过程， 且微积分的运算又力求代数化。数学语言由于精简，一些不是决定性的次要物理内涵不在式子中出现因而减少干扰。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。 数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念，1673年莱布尼兹定义：函数就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动。1821年柯西定义：对于X的每个值，如果Y有完全确定的值与之对应，则Y叫做X的函数。近代定义：设有A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一个对应法则，则A到B的Ｆ映射：A→B称为A到B上的函数。一步一步更简洁、更具一般性。算术运算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的简化运算，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，这就是四则运算。除法很快导致了分数的出现，以十、百等为分母的除法，简化表达就是小数和循环小数。不是拥有钱而是欠人的钱如何表示，这就出现了负数，这些数放在一起就是有理数，可以表示在一个数轴上。后来有人发现，正方形的边长是1，它的对角线长度就无法用有理数表示，用园规在数轴上找到那个对应点就是无理数的点。1761年兰伯卢格严格证明了π也是一个无理数，这样把无理数包括之后，有理数与无理数统称为实数，数轴也称之为实数轴。后来人们发现，如果在实数轴上随机抽取，得到有理数的概率几乎是0，得到无理数的概率几乎是1，无理数比有理数多得多，为什么会如此，因为这个客观世界本来就是无理的多过有理的。为了解决负数的开平方，后来出现了虚数，虚轴与实轴垂直交叉形成一个复平面，数也发展成为由虚部和实部组成的复数。变化着的量以及它们间的依赖关系，产生了变量与函数的概念，研究函数的领域叫数学分析，其主要内容是微积分。级数是无穷项数列的求和问题，微分方程的解不是数而是函数。 数学由于符号形式而易于运算和推理，故人们可以暂时撇开符号的意义而仅着眼于形式，当符号与一定的概念单值地对应时，思想的操作可转换为对符号的操作，而符号的操作可委托机器进行，例如我们通过构造算法程序，把求解问题的创造性工作转化为非创造性工作之后，也就有可能把运算过程中每前进一步都要有一个确定的必须选择的下一步这样一条刻板的过程交由机器来完成，故人们利用符号借助计算机器便可使复杂繁重的脑力劳动机械化，从而实现智力的解放。以公理化为主的演绎倾向以及以机械化为主的算法倾向往往互为消长，公理化提供了演绎推理的模式和理性证明的手段，从而把数学知识组织成为一个严密的逻辑体系。机械化从问题出发，靠实际应用的成功，来保证数学的＂可靠性＂。 公理化演绎系统的出发点，是一组基本概念和若干条基本命题，基本概念是对数学实体的高度纯化和抽象，基本命题是对基本概念相互关系的制约和规定。亚里士多德曾提出，公理应为最普遍的真理，欧几里德欣然应诺并以此作为划分公理与公设的依据，他在建立《原本》的公理系统时，依据逻辑相关性先给出点、线、直线、面、平面等一些原始概念的直观定义，接着又给出由这些原始概念所派生的概念之定义，如两条直线间的角、直角、平角、圆、直径等，像这样一连列出23个定义、5条公设、9条公理。这9条公理可适用于当时一切数学，而5条公设是专门对于几何学而设立。欧几里得以这些定义、公设、公理为基础，以形式逻辑为工具，演绎出467个定理，筑起了一座数学知识的大厦《原本》，《原本》仅手抄本就流传了1800多年。十九世纪的罗巴切夫斯基提出，可能会存在第五公设不能成立的新几何系统，一举而创立了双曲几何学；不久黎曼从另一侧面否定第五公设发现了椭圆几何学，这两种几何学统称为非欧几何学。公理化方法主要功能在于对已积累的大量数学知识进行加工、整理、改造、重建，在通常情况下要解决一个具体问题时，往往需要先从现存的数学宝库中去搜寻适宜的以某种数学分支所特有的算法技巧为依据的方法，而并非首先求助于某个公理化系统。