小乐译注: 大数学家:莱昂哈德·欧拉 曾任拿破仑的老师,天体力学之父,法国科学院院士,数学家,物理学家,拉普拉斯,曾经说过:"读读欧拉,读读欧拉,他是我们所有人的老师。" 可以说,莱昂哈德·欧拉是历史上数百年难逢的大数学家,也是一个重量级的科普工作者,他曾应邀为德国公主函授哲学、物理学、宇宙学、化学、音乐等多个科学和艺术分支的知识。为此他于1760年至1762年间,写下了一系列共234篇文笔优美的文章,分成三卷分别于1768年的圣彼得堡和1774年的法兰克福首次出版,它们充分体现了欧拉渊博的知识、极高的文学修养和哲学修养。 欧拉写给德国公主的信1768年出版 欧拉写给德国普鲁士王室公主的信,原文是法文,随即被他在圣彼得堡的学生Stepan Rumovsky翻译成俄语。这三卷法语版的信,于1787年至1789年这三年在巴黎被分别重印。 而苏格兰牧师亨利·亨特在1795年将其率先翻译成英文版。目前国内还没有中文版,只看到2018年高等教育出版社引进出版了英文版。本文是zzllrr小乐基于英文版(苏格兰圣安德鲁斯大学数学与统计学院官网提供)翻译而成的中文节选,可以称为是法译英译中,而基于原来法文版直接翻译成中文的完整中文版,由于难度较大和周期较长,小乐将于后续时间予以开源发布。 译文:欧拉给德国公主的信是用法语写给普鲁士王室成员15岁的弗里德里克·夏洛特公主的。当他开始写信时,欧拉时年53岁,是柏林普鲁士科学院数学系主任。从1760年开始的两年时间里,他给公主写了234封信。首次出版三卷(1768年在圣彼得堡出版第一、二卷,1774年在法兰克福出版第三卷),孔多塞侯爵(Marquis de Condorcet)和西尔维斯特·弗朗索瓦·拉克鲁瓦(Sylvestre François Lacroix)于1787年,1788年和1789年在巴黎重印。巴黎版本被苏格兰牧师亨利·亨特(1741 - 1802)翻译成英文 ,并在1795年发表。亨特在序言中写道: "我相信,现在是英国每个女性学院的客厅,每天早餐桌上摆着欧拉之书或类似书籍的时候了;当一个年轻的女性在学习糕点和平常工作的有用技巧的同时,也可能想去熟悉月相,潮汐的流动和退潮。而且我说服她稍微学习一点声音理论,也许会弹奏吉他或敲击羽管键琴的琴键,她本人和其他人都较为同意。我已经将这种方法的权力交给她了。如果她忽略了,那将是她的错,也是她的愚蠢。" 我们在下面给出这些信的三个示例。在前两封信中,我们注意到该作品的不同版本包含不同的度量。我们保留欧拉的原始度量,即他使用的德国英里(一德国英里等于四又五分之三4⅗英国英里)。我们还保持欧拉对太阳系的理解。后来的版本增加了其他已发现的行星和小植物,如谷神星等。这封信原始日期是1760年,因此会带来困惑。我们尽可能选择最接近欧拉原信的表达方式。 1、关于"数量级"(或延拓) 荣幸能与殿下交流几何课的希望变得越来越遥远,这让我容易感到难堪,以书写的方式提供个人指导时,感觉自己会被推着直达主题的本性。 我先尝试帮助您形成一个关于数量级的概念。例如,产生在宇宙系统中实际可发现的最小和最大物质的延拓程度。首先,有必要固定一种确定的量度划分,我们对这种分度有一个确切的概念,也明显感觉得到,例如,一英尺(也即一脚长度)。一旦确定了一英尺的大小,眼睛也对它熟悉了,它将使我们能够形成关于其他或大或小的长度概念;前者通过其包含多少英尺来确定;后者通过用脚的哪一部分来测量来衡量。因为,有了一英尺的概念,我们就得到了它的一半,四分之一,十二分之一英寸(命名为1英尺),百分之一和千分之一(很小几乎看不到)。但是要指出的是,有一些动物,其延伸程度不超过一英尺的最后一个部分,但是这些动物是由使其血液循环的成员组成,这些成员又包含其他动物,正如它们与我们相比。因此可以得出结论,存在着动物,它们的小巧使人难以想象。而且也可以分成难以想象的小部分。因此,尽管一英尺的十分之一太小了以至于看不见,并且与我们相比,它不再是一种感觉的对象,但它在数量上却超过了某些完整的动物;而且,对于其中一种动物来说,它具有感知力的话,必然表现得非常巨大。 现在让我们从这些微小的数量转到那些心智上爱莫能助的最大数量。你有1英里的概念;因此到马格德堡的距离被计算为18 英里(德国英里);一英里(德国英里)包含24,000英尺,我们用它衡量全球范围内不同地区的距离,以避免数字不可思议的大(如果我们使用的英尺,而不是英里,情况肯定如此)。一英里包含24,000英尺,从柏林到马格德堡是18英里,这样说比说这两个城市的距离是432,000英尺(一个太大几乎难以理解的数字)更加清晰。再如,当我们被告知其周长约5,400英里,我们对地球大小有一个相当合适的概念。直径是穿过球体(这是公认的地球图形,因此我们也将其命名为地球)中心并在表面上以相反方向结束的直线段,地球直径被计算为1720英里;这就是我们用来确定天上可发现的最大距离的度量。在所有天体中,月亮距离我们最近,仅相距约30个地球直径,大小是51,600英里或1,238,400,000英尺; 但是最清晰的概念是首先对30个地球直径进行计算。太阳与我们的距离大约是月亮与我们距离的400倍,而当我们说这个距离是9,000个地球直径,会比用英里或英尺表示更清楚易懂。 您知道地球在一年的时间内围绕着太阳旋转一次,但是太阳保持不动。在地球旁边,还有五个其他类似的天体,称为行星,它们绕太阳旋转。其中两个距离较小,即水星和金星,三个距离较大,即火星,木星和土星。我们看到的所有其他恒星,除彗星外,都称为固定不动的。他们离我们的距离比太阳大得多。它们之间的距离无疑是非常不相等的,这就是其中一些天体看起来比其他天体更大的原因。但毫无疑问,它们中最近的比太阳更远5,000倍:因此与我们的距离,超过45,000,000个地球直径,也就是77,400,000,000英里,如用英尺的话,还要再乘以24,000,距离更惊人。毕竟,这还只是离我们最近的那些恒星的距离;我们看到的最遥远的地方也许相距一百倍。同时,这些恒星可能合在一起仅构成整个宇宙的一小部分,这些惊人的距离相对于整个宇宙,并不比一粒沙相对于地球那样大。这种无边无际是全能者所为,他统治着最大和最小的天体。 柏林 1760年4月19日。 2、关于"速度" 我自诩殿下很高兴接受我的指导,即在前一封信中我自由向您介绍的,我着手揭开"速度"的概念,这是延拓的一种,并容易增加和减少。当任何物质被运输时,即当它从一个地方传递到另一个地方时,我们将其归因于"速度"。让两个人从柏林到马格德堡,一个人骑马,另一个人步行,在两种情况下,我们都有一个特定速度的概念。但随即得知,前者的速度超过后者。 那么问题来了:我们观察到的这些速度差异在哪里?骑行者和步行者的路是相同的;但是区别显然在于每个人花在相同路线的时间。骑马者的速度是两者中较快的,因为他在从柏林到马格德堡的路上花费的时间更少。而步行者的速度较慢,因为他在相同距离上花费更多的时间。因此很明显,为了形成准确的速度概念,我们必须引入两种量:即道路的长度和所用的时间。因此,同一时间,一个物体所经过的空间距离是另一个物体的两倍,则有双倍的速度。如果同一时间,通过距离是三倍,就说速度是三倍,依此类推。因而我们应当理解,物体的速度,就是指在一定长的时间内它所经过的空间距离。 为了知道我的脚步速度,当我走到Lützow(德国市名)时,我观察到我在一分钟内走了120步,而我的一步等于两英尺半。因而我的速度,就是每分钟300英尺,或每小时18,000英尺(60倍距离,但并不等于一英里,即24,000英尺,那需要一个小时20分钟)。因此,如果我要从那步行到马格德堡,恰好需要24小时。这传达了我能够行走的速度的一个准确概念。现在可以很容易地理解一个或大或小的速度。因为如果要一个快递员在12小时内从这到马格德堡,他的速度将是我的两倍。如果他走了八个小时,他的速度将是我的三倍。我们注意到速度的差异非常大。乌龟提供了极小的速度示例。如果她在一分钟内只前进一英尺,她的速度是我的300倍慢,因为同样时间我走300英尺。同样我们对高速度也更加熟悉。风的变化很大。中等风速以每秒10英尺的速度传播,或者一分钟600英尺;因此它的速度是我的两倍。一秒钟能跑20英尺或一分钟能跑1200英尺的风很大。每秒50英尺的速度飞行的风非常猛烈,尽管其风速仅是我的十倍,并且要花2小时24分钟才能吹到马格德堡。 接下来是声速,其1秒钟移动1000英尺,即每分钟60,000英尺。因此,该速度是我步伐的200倍;一门加仑炮在马格德堡发射,如果在柏林可以听到,它将在七分钟内到达那里。炮弹球以几乎相同的速度移动;但是当炮弹被加载到极限时,炮弹球能够每秒飞行2,000英尺,或者说每分钟120,000英尺。这个速度看起来是惊人的,尽管只是我步行去Lützow的速度的400倍。同时它是地球上已知的最大速度。但天体中却有速度大得多,尽管它们的运动似乎是不慌不忙的。你知道地球在24小时内绕其轴旋转一圈:它的表面赤道下的每一个点,24小时移动5,400英里,而我只能走18英里。因此,它的速度是我的速度的300倍以上,尽管比炮弹的最大可能速度还小。地球在一年的时间内绕太阳公转,在24小时内以128,250英里的速度前进。因此,它的速度是炮弹18倍。毫无疑问,我们所知道的最大速度是光的速度,它每分钟移动2,000,000英里,并且是炮弹速度的4000,000倍。 1760年4月22日 3、源自美好音乐的快乐 这是一个与好奇一样重要的问题,精美的音乐从何而来激发愉悦的心情呢?有学问的人在这方面答案有所不同。有人认为这仅仅是随性而已,音乐产生的乐趣不是建立在理性的基础上的,因为甲之蜜饯乙之砒霜。除了确定问题之外,这只会使问题更加复杂。需要确认的一点是,由于所有人都承认无因就无果,那么同一首音乐如何产生如此不同的效果的呢?其他人则认为,优美音乐带来的愉悦在于对弥散在音乐中的秩序的感知。 乍一看,这种观点是有充分根据的,值得更仔细地研究。音乐呈现两种东西,其中秩序是必不可少的。其中一个与尖锐或平坦音调的差异有关。您会回忆起,它包含每个音符在同一时间进行的振动次数。在所有声音的振动速度之间可以察觉到的这种差异,就是所谓的和声(harmony)。一首音乐的效果就是产生和声,我们能感觉到组成它的所有音符的振动之间的关系。因此,两个相差八度音阶的音符激发出1到2的感觉;相差五分之一,得到2到3; 相差三分之一,得到4到5。 当我们知道所有构成其音符的关系时,我们便理解了和谐的秩序。而耳朵的感知导致了这种知识。这种感觉,或多或少是微妙的,决定了为什么一个人而不是另一个人感觉到相同的和声,尤其是当音符的关系用更大的数字表示时。音乐除了和声之外,还包含另一个同样容易受到秩序影响的东西,即小节(measure),通过小节,我们为每个音符分配一定的持续时间。对长短的感知在于对持续时间的了解以及由此产生的关系。 铜鼓是一种小节单独起作用的音乐例子,因为其中所有音符彼此一样,没有和谐。类似地,还有一种音乐是完全和谐,没有长短。这种音乐是合唱,其中所有音符的持续时间相同。但是完美的音乐将和声与小节融为一体。因此,欣赏音乐的鉴赏家,通过对耳朵的敏锐感知,了解建立和声与小节的所有比例,当然对这首音乐拥有最完善的知识:仅仅部分或根本不了解这些比例的人,对此问题一无所知,或者至多对它了解甚少。但是,优美的音乐激发了愉悦的感觉,必然不能与我所讲的知识等同,尽管可以肯定地说,一首音乐不能产生任何东西除了产生能被人们感知的关系。仅仅因为这种知识不足以激发愉悦感。需要某种另外的东西,迄今为止没有人展示过的。 为了确信仅对音乐的所有比例的感知不足以产生愉悦,您仅需考虑非常简单的结构的音乐,例如仅以八度为单位的音乐,其中对比例的感知为无疑是最简单的。尽管您可能对音乐有最完善的了解,但这种音乐远不能带来愉悦。可以说,享乐需要的知识不是那么容易获得的,而这种知识会带来一些麻烦,会让我们付出一些代价,如果允许我这么表达。但是,我认为这不是令人满意的解决方案。用最高的数字表示关系的不协和和弦更加困难。然而,一系列的不和谐和弦,没有选择,没有设计就无法取悦人。 一位鉴赏家聆听这样的乐曲,理解作曲家所考虑的除了比例之外的恰当计划和设计,将感到满足,这正是精致音乐带来的愉悦,使人们习惯于欣赏迷人的艺术中的美感和体贴。它是通过某种程度上探测作曲家的观点和感觉而产生的,当幸运的时候,作曲家的表演使心灵充满了愉悦的感觉。这种满意与从表演精湛的哑剧的观看中获得的满足有些相似,在其中,您可以通过手势和动作来推测要表达的情感和对话,以及易领悟的计划。清扫烟囱者之谜,让殿下感到很有趣,为我提供了另一个出色的比较。当您猜出感觉并发现它在谜题的命题中得到了完美的表达时,您会感到非常明智的发现。但是平淡无奇的谜语却一无所获。如果允许我判断的话,这就是决定音乐作品卓越性的所依据的真实原则。 1760年5月6日