小乐数学科普数学家如何使用同调来理解拓扑译自量子杂志

　　作者：Kelsey Houston-Edwards 2021-5-11 译者：zzllrr小乐 2021-5-13
　　起初，拓扑似乎是数学中一个非常不精确的分支。它是对可以弯曲，拉伸和压缩而没有限制的黏糊状面团形状的研究。但是拓扑学家确实有一些限制：他们不能在形状中创建或破坏孔。（这是一个古老的笑话，拓扑学家无法分辨咖啡杯和甜甜圈之间的区别，因为它们都具有一个孔。）虽然这似乎与代数的严格性相去甚远，但是一种称为同调的强大观点可以帮助数学家连接这两个世界。
　　＂孔＂一词在日常用语中有许多含义，气泡，橡皮筋和碗都有不同类型的孔。数学家对检测特定类型的孔感兴趣，可以将其描述为封闭的空心空间。一维孔看起来像橡皮筋。形成橡皮筋的那条弯曲的线是闭合的（不同于松散的细绳），并且是空心的（与硬币的周长不同）。
　　推广此逻辑，二维孔看起来像空心球。数学家正在寻找的孔的种类（封闭的和空心的）可在篮球中找到，但在碗或保龄球中却找不到。
　　但是，数学运算的难度很大，虽然以这种方式思考孔可能有助于将我们的直觉指向橡皮筋和篮球，但它的精确度不足以符合数学定义的要求。例如，它没有清晰地描述较大尺寸的孔，并且无法对计算机进行编程以区分封闭空间和空心空间。
　　密歇根州立大学的何塞·皮雷亚说：＂对孔的定义不好。＂
　　因此，同调（ Homology）从物体的边界推断出物体的空洞，这是一个更精确的数学概念。要研究对象中的孔，数学家只需要其边界的有关信息。
　　形状的边界是其外围点的集合，并且形状的边界始终比形状本身低一维。例如，一维线段的边界由两端的两个点组成。（点被认为是零维的。）实心三角形的边界是空心三角形，由一维边组成。类似地，实心金字塔以空心金字塔为边界。
　　如果将两个线段粘在一起，它们相遇的边界点将消失。边界点就像悬崖的边缘，它们几乎要掉落边外了。但是，当连接边时，原来边缘上的点现在已安然位于中心。另外，两条线总共有四个边界点，但是当它们粘在一起时，得到的形状只有两个边界点。
　　如果可以附加第三条边缘并闭合这个结构，创建空心三角形，则边界点将完全消失。每条边的每个边界点都相互抵消，从而空心三角形没有边界。因此，每当一组边形成一个环时，边界就会抵消。
　　环圈向后环绕自身，围绕着中央区域。但是，仅当中心区域是中空的（如橡皮筋）时，环才会形成孔。在纸上绘制的圆形成一个环，但不是圆孔，因为中心被填满了。包围实心区域（非孔类型）的圆环是该二维区域的边界。
　　因此，孔具有两个重要的严格特征。首先，孔没有边界，因为它形成封闭的形状。其次，孔不是其他物体的边界，因为孔本身必须是中空的。
　　该定义可以推广到更高的维度。二维实心三角形由三个边定界。如果将几个三角形连接在一起，则某些边界边会消失。当四个三角形排列成一个金字塔时，每条边都被另一个抵消。因此，金字塔的墙没有边界。如果该金字塔是空心的-即它不是三维实体块的边界-则它将形成一个二维孔。
　　为了找到特定拓扑形状内的所有类型的孔，数学家构建了一种形成同调的脚手架，被称为链复形（ chain complex）。
　　通过将不同尺寸的块粘合在一起，可以构建许多拓扑形状。链复形是提供形状装配说明的图。形状的各个部分按维度分组，然后按层次排列：第一层包含所有点，第二层包含所有线，依此类推。（还有一个空的第0层，仅用作基础。）每个层都通过箭头连接到它下面的层，该箭头指示如何将它们粘在一起。例如，一个实心三角形链接到形成其边界的三条边。
　　数学家从其链复形中提取形状的同调，后者提供了有关形状的组成部分及其边界的结构化数据，而这正是描述每个尺寸的孔所需要的。使用链复形时，查找10维孔和1维孔的过程几乎相同（除了10维孔比1维孔更难以可视化之外）。
　　同调的定义足够严格，计算机可以使用它来查找和数孔的个数，这有助于确定数学中通常需要的严格性。它还允许研究人员将同调用于越来越流行的研究中：分析数据。
　　这是因为可以将数据可视化为漂浮在空间中的点。这些数据点可以表示物理对象（如传感器）的位置，也可以表示抽象空间中的位置（如对食物偏爱的描述），附近的点表示具有相似口感的人。
　　为了从数据中形成形状，数学家在相邻点之间绘制线。当三个点靠在一起时，它们将被填充以形成一个实心三角形。当大量的点聚集在一起时，它们会形成更复杂和更高维的形状。填充数据点可赋予它们纹理和体积-它通过点创建图像。
　　同调将这个模糊的形状世界转化为严格的代数世界，这是数学的一个分支，研究特定的数值结构和对称性。数学家在称为同调代数的领域研究这些代数结构的性质。他们从代数中间接了解有关数据原始拓扑形状的信息。同调有很多变种，所有这些都与代数有关。
　　＂同调是一种熟悉的结构。我们对此有很多代数知识，＂麻省理工学院的玛吉·米勒（Maggie Miller）说。
　　同调提供的信息甚至可以解释数据的不精确性：如果数据仅发生少量移动，则孔的数量应保持不变。并且，当处理大量数据时，孔洞可以揭示重要的特征。例如，时变数据中的循环可以指示周期性。其他尺寸的孔会显示数据中的簇和空隙。
　　宾夕法尼亚大学的罗伯特·格里斯特（Robert Ghrist）表示：＂真正强大的方法是拥有健壮的方法，并能提取定性特征。＂ ＂这就是同调给你的。＂