小乐数学科普数学家获知形状坍塌的阈值译自量子杂志

　　通过向球体上的曲线增加无限多的扭曲，可以将其压成一个小球，而不会扭曲其距离。
　　作者：Mordechai Rorvig 量子杂志Quanta Magazine 2021-6-3 译者：zzllrr小乐 2021-6-5
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　　在 1950 年代，也就是在他因对博弈论的贡献获得诺贝尔奖以及他的故事启发了书和电影＂美丽心灵＂的四年前，数学家John Nash约翰·纳什证明了所有几何学中最杰出的成果之一。其中有一亮点，它暗示可以将一个球体揉成任何大小的球，而无需将其弄皱。他通过发明一种称为＂嵌入＂的新型几何对象使这成为可能，该对象将形状置于更大的空间内——与将二维海报装入三维管没什么不同。
　　有多种嵌入形状的方法。有些保留了形状的自然形式——比如将海报卷成圆柱体——而另一些则将其折皱或撕裂以使其适合不同的方式。
　　纳什的技术出人意料地涉及为形状的所有曲线添加扭曲，使其结构有弹性，表面起皱。他证明，如果你添加无数次这样的扭曲，你可以把球体揉成一个小球。结果震惊了数学家，他们以前认为以这种方式弄皱球体需要脆性的折叠。
　　从那时起，数学家一直试图准确了解纳什开创性技术的局限性。他展示了你可以使用扭曲将球体弄皱，但他没有确切证明你至少需要多少扭曲才能得到这个结果。换句话说，纳什之后的数学家想要量化平坦度和扭曲度之间的确切阈值，或者更一般地说，平滑度和粗糙度之间的确切阈值，在这个阈值下，像球体这样的形状开始皱缩。
　　在最近的两篇论文中，至少对于位于更高维空间中的球体而言，该阈值被找到了。在 2018 年 9 月发布并于 2020 年 3 月出版的一篇论文中，新泽西州普林斯顿高等研究院的 Camillo De Lellis与 莱比锡大学的 Dominik Inauen 确定了一个特定形状的确切阈值。 2020 年 10 月，北京首都师范大学的 Inauen 和 Wentao Cao 的后续工作证明，该阈值适用于某种一般类型的所有形状。
　　这两篇论文显著提高了数学家对纳什嵌入的理解。它们还在嵌入和流体流动之间建立了一种不太可能的联系。
　　＂我们发现了这两个问题之间的这些惊人的联系点，＂De Lellis说。
　　翻滚的河流似乎与皱巴巴的形状只有模糊的关系，但数学家在 2009 年发现，它们实际上可以使用相同的技术进行研究。三年前，包括 De Lellis 在内的数学家使用 Nash 的想法来理解流动变成湍流的点。他们的工作将流体重新想象为由扭曲的流动组成——他们证明，如果你在这些流动中添加足够多的扭曲，流体会突然呈现湍流的关键特征。
　　关于嵌入的新工作建立在早期湍流工作的重要经验教训之上，这表明数学家现在有了一个通用框架来识别一系列数学环境中的急剧转变点。
　　保持长度
　　今天的数学家考虑形状，例如球体，具有自己固有的几何特性：无论你在哪里找到球体，球体都是一个球体。
　　但是你可以拿一个抽象形状并将其嵌入更大的几何空间中。当你嵌入它时，可能希望保留有关它的所有性质。或者，你可能只要求某些属性保持不变——例如，其曲面上的曲线长度保持不变。这种嵌入被称为＂等距＂。
　　等距嵌入保持长度，但仍然可以以重要的方式改变形状。例如，从一张带有垂直线网格的方格纸开始。随意折叠多次。这个过程可以被认为是一个等距嵌入。生成的形状看起来与你开始时的平滑平面完全不同，但网格线的长度不会改变。
　　Nash 的扭曲嵌入保留了令人惊讶的平滑度，即使它们可以从根本上改变表面。
　　很长一段时间，数学家认为尖锐的折叠是同时兼得这两种特征的唯一方法：保持长度的皱折形状。
　　普林斯顿大学的特里斯坦·巴克马斯特 (Tristan Buckmaster) 说：＂如果允许拐角发生，那么问题就会容易得多。＂
　　但是在 1954 年，John Nash 发现了一种截然不同的等距嵌入类型，可以实现相同的技巧。它使用螺旋扭曲而不是尖锐的折痕和角。
　　为了对 Nash 的想法有一个直观的了解，请再次从球体的光滑表面开始。该曲面由许多曲线组成。取每条曲线并将其拧成弹簧状的螺旋线。像这样重新制作所有曲线后，就可以压缩球体了。然而，这样的过程似乎违反了等距嵌入的规则——毕竟，两点之间的曲线路径总是比直线路径长。
　　但是，值得注意的是，纳什展示了一种严格的保持长度的方法，即使你对扭曲的线重新制作曲线也是如此。首先，像放气的气球一样均匀地收缩球体。然后为每条曲线添加越来越紧密的螺旋线。通过添加无限多的此类扭曲，最终可以将每条曲线恢复到其原始长度，即使原始球体已被弄皱。
　　纳什的工作需要进一步探索。从技术上讲，他的结果意味着只有当球体存在于四个空间维度时，才能将球体弄皱。但在 1955 年，尼古拉斯·柯伊伯Nicolaas Kuiper推广了纳什的工作，使其适用于标准的三维球体。如果将球体的曲线扭曲得足够多，数学家想确切了解多到哪种程度，可以使其坍塌。
　　平滑度
　　折叠和扭曲的形状在一个关键方面彼此不同。要了解其中的原理，你需要了解数学家所说的＂平滑＂是什么意思。
　　平滑度的一个经典例子是正弦波的上升和下降形状，这是数学中最常见的曲线之一。表达这种平滑度的一种数学方法是说你可以计算波在每个点的＂导数＂。导数可以测量曲线在某一点的斜率，即它倾斜或下降的程度。
　　事实上，你可以做的不仅仅是计算正弦波的导数。你还可以计算导数的导数，即＂二阶＂导数，它捕获斜率的变化率。这个量可以确定曲线的曲率——曲线在某个点附近是凸还是凹，以及弯曲到什么程度。
　　没有理由止步于此。你还可以计算导数的导数的导数（＂三次＂导数），依此类推。这个无限的导数塔使正弦波在精确的数学意义上完美平滑。但是当你折叠一个正弦波时，导数塔就会倒塌。沿着折痕曲线的斜率没有明确定义，这意味着甚至无法计算一阶导数。
　　在纳什之前，数学家认为失去一阶导数是在保持长度的同时将球体弄皱的必然结果。换句话说，他们认为皱巴巴和光滑是不相容的。
　　但纳什的结果告知我们并非如此。
　　约翰纳什在 1954 年震惊了数学界，当时他证明了可以在保持距离的同时揉皱一个球体，而不需要折叠它。
　　使用他的方法，可以在不折叠任何曲线的情况下将球体弄皱。纳什所需要的只是光环的扭曲。然而，他的嵌入所需的无限微小扭曲使得曲率的二阶导数概念变得荒谬，就像折叠破坏了斜率的一阶导数概念一样。在一个纳什曲面上，曲线是凹的还是凸的，这一点永远都不清楚。每增加一次扭曲，形状就会有越来越多的波纹和凹槽，无限凹槽的表面变得粗糙。
　　里昂大学的文森特·博雷利 (Vincent Borrelli) 说：＂如果你是曲面上的滑雪者，那么到处都会感觉到颠簸，＂他在 2012 年与合作者合作创建了纳什嵌入的第一个准确的可视化。
　　这项新工作解释了一个曲面可以在多大程度上保持导数，即使它的结构坍塌。
　　寻找边界
　　数学家有精确的符号来描述可以在曲线上计算的导数的数量。
　　折叠形状的嵌入称为 C⁰。 C 代表连续性continuity，上标零表示嵌入曲面上的曲线没有导数，甚至没有一阶导数。 还有带有分数上标的嵌入，例如 C⁰,¹/²，它们仍然会产生折痕，但不那么尖锐。 然后是纳什的 ¹嵌入，它仅通过应用平滑扭曲来挤压曲线，从而保留一阶导数。
　　在纳什的工作之前，数学家主要关注具有一定标准光滑度 C² 及以上的等距嵌入。这些 C² 嵌入可能会扭曲或弯曲曲线，但只是轻轻地。 1916 年，有影响力的数学家赫尔曼·外尔 (Hermann Weyl) 猜测，无法在不破坏距离的情况下使用如此温和的弯曲来改变球体的形状。 1940 年代，数学家解决了 Weyl 问题，证明 C² 等距嵌入无法使球体皱缩。
　　在 1960 年代，Yurii Borisov 发现 C¹,¹/³嵌入仍然可以弄皱球体，而 C¹,²/³ 嵌入则不能。因此，在 Nash 的 C¹嵌入和轻轻弯曲的C² 嵌入之间的某处，揉皱成为可能。但是在Borisov的工作之后的几十年里，数学家们并没有更接近于找到一个确切的边界——如果一个边界存在的话。
　　＂需要一些基本的新见解，＂Inauen 说。
　　虽然数学家无法取得进展，但他们确实为纳什的想法找到了其他应用。在 1970 年代，Mikhael Gromov 将它们重新定义为一种称为＂凸积分＂的通用工具，它允许数学家通过使用扭曲子结构来构建许多问题的解。在一个最终与新成果相关的例子中，凸积分使得可以将流动的流体视为由许多扭曲的子流组成。
　　几十年后的 2016 年，Gromov 回顾了球体嵌入的渐进进展，并推测实际上存在一个阈值，即 C¹,¹/²。问题是，在那个阈值上，现有的方法就失效了。
　　＂我们被困住了，＂Inauen 说。
　　为了取得进展，数学家需要一种新方法来区分不同平滑度的嵌入。 De Lellis 和 Inauen 的灵感来自一种完全不同的现象：湍流。
　　消失的能量
　　所有接触的材料都有摩擦力，我们认为摩擦力是减慢速度的原因。但多年来，物理学家已经观察到湍流的一个显着特性：即使没有内部摩擦或粘度，它们也会减慢速度。
　　1949 年，Lars Onsager 提出了一个解释。他猜测无摩擦耗散与湍流的极端粗糙度（或缺乏平滑性）有关：当流动变得足够粗糙时，它开始耗尽自己。
　　2018 年，Philip Isett 证明了 Onsager 的猜想，Buckmaster、De Lellis、László Székelyhidi 和 Vlad Vicol 在另一项工作中做出了贡献。他们使用凸积分来构建与 C⁰ 一样粗糙及更高可高达 C⁰,¹/³（比 C¹ 更粗糙）的滚动流。这些流动违反了称为动能守恒的正式规则，并且完全通过其粗糙度来减慢自己的速度。
　　＂能量在有限的时间内被发送到无限小的尺度，零长度尺度，然后消失，＂巴克马斯特Buckmaster说。
　　早在1994 年的工作已经确定，比 C⁰,¹/³更光滑（具有更大的上标）的无摩擦流动确实节约了能量。总之，这两个结果在湍流、耗能流和非湍流、节能流之间确定了一个尖锐的阈值。
　　Onsager 的工作还提供了一种原理证明，即凸积分可以揭示尖锐的阈值。关键之处似乎在于找到在阈值的一侧成立而在另一侧失败的正确规则。 De Lellis 和 Inauen 注意到了。
　　＂我们想也许你有一个额外的定律，比如 [动能定律]，＂伊诺恩说。 ＂高于某个阈值的等距嵌入满足它，低于该阈值则会违反它。＂
　　在那之后，他们只需要去找定律。
　　保持加速
　　他们最终研究的规则与曲面上曲线的加速度值有关。要理解它，首先想象一个人在嵌入之前沿着球形滑冰。当他们摆动转弯处并在山坡上滑行时，他们会感觉到加速（或减速）感。他们的轨迹形成了一条曲线。
　　现在想象一下滑冰者在嵌入后沿着相同的形状比赛。对于足够光滑的等距嵌入，不会使球体皱缩或以任何方式变形，滑冰者应该沿着嵌入的曲线感受到相同的力。认识到这一点后，De Lellis 和 Inauen 需要证明这一点：比 C¹,¹/² 更光滑的嵌入可以保持加速度。
　　2018 年，他们将这种视角应用于称为极冠polar cap的特定形状，它是球体的截顶。他们研究了使帽的底部保持固定位置的帽的嵌入。由于帽子的底部是固定的，因此只有在其上方的帽子形状发生变化（例如，通过向内或向外扣紧）时，绕其运动的曲线才能改变加速度。他们证明了比 C¹,¹/² 更光滑的嵌入——甚至是 Nash 嵌入——不会改变加速度，因此不会扣住帽子。
　　＂它提供了一个非常漂亮的几何画面，＂Inauen 说。
　　另一方面，他们使用凸积分来构建比C¹,¹/² 更粗糙的帽子嵌入。这些纳什嵌入扭曲了曲线，以至于它们失去了加速度的概念，这是一个二阶导数。但是围绕底座的曲线的加速度仍然是合理的，因为它是位置固定的。他们表明，低于阈值的嵌入可以改变这条曲线的加速度，这意味着它们也会扣住帽子（因为如果帽子不扣，加速度保持恒定；如果加速度不恒定，这意味着帽子必须扣住）。
　　两年后，Inauen 和 Cao 推广了之前的论文，并证明了 Gromov 的 C¹,¹/² 预测值确实是一个适用于任何形状或具有固定边界的＂流形＂的阈值。在它上面，形状不会弯曲，在它下面它们会弯曲。 ＂我们概括了结果，＂曹说。
　　Cao 和 Inauen 论文的一个关键限制是它需要将一个形状嵌入到 8 维空间中，而不是 Gromov 心目中的 3 维空间。有了额外的维度，数学家获得了更多的空间来添加扭曲，这使问题变得更容易。
　　虽然结果并不能完全回答 Gromov 的猜想，但它们提供了迄今为止对光滑度和起皱之间关系的最佳洞察。 ＂他们给你一个我们真正看到这种二分法的第一个例子，＂德莱利斯De Lellis说。
　　从这里开始，数学家有许多路径可以遵循。 一方面，他们想在三个维度上解决这个猜想。 同时，他们想更好地理解凸积分的力量。
　　今年秋天，高等研究院将开始举办有关该主题的全年计划。 它将汇集来自广泛领域的研究人员，目的是更好地理解纳什发明的想法。 正如格罗莫夫在他 2016 年的论文中指出的那样，纳什扭曲的形状不仅仅是几何的一部分。 现在已经很清楚，他们为通往数学的全新＂新土地＂铺平了道路，许多地方都出现了尖锐的阈值。