老郭带你学数学,什么是离散量和连续量?
打发业余时间的方法有很多,追剧的、看小说的、练书法的、学跳舞的……,不过我从来没见过业余时间学数学的。这是因为学数学的大脑中枢是人的痛苦中枢,大脑在处理数字和感受针刺是同一片区域,所以有的人学数学就头痛,这导致他们对数学产生天生逃避反应。越逃避,自然就越难学。不过今天老郭想用一种比较温柔的方式,以离散量和连续量为例,疗愈这种数学头痛。
一、多少个和多少
我们可以说书架上有多少本书,但不能说杯子里有多少个水,对于水只能说多少而不能说多少个,因此多少个和多少的意义是不一样的。
书是分离、独立存在的,数学上把很多这样的分离的物体的集合叫做集,我们在数数目的时候,回答的时候要带上单位,比如书的单位是本,苹果则是个,羊可以用只等等,这类东西就称作离散量。
与这些带单位的离散量相比,测量有多少水这样的量就称作连续量。因为杯子里的水不是一个个分离的,而是连续变化的(不考虑物质的可分性)。不论杯子里的水分到多么微量也是水,不改变。把两杯水倒入同一个大杯中,是一大杯水,也没有接缝。像水这样能够自由地分开和结合的东西就被称为连续量。
二、离散量和连续量的转换
在生活中离散量和连续量也不是绝对的。我的母亲跟我说过这样一件事,当年自然灾害的时候(1962年),家里有一小碗黄豆,可是全家有8口人,不够分,姥姥吧黄豆做成了豆浆,这样所有人就都能吃到黄豆了。姥姥把离散量的黄豆,变成了连续量的豆浆,从而解决了分黄豆的难题。
就像姥姥分黄豆这个例子那样,数学中的离散量和连续量概念是随着人类进化过程,在生产和生活中自然形成的。像摘果子这种,有自然数1、2、3……就够了,但如果是一个部落有30人,出去打了1头牛,7只羊这种情况,就需要把离散的量变成连续的量才好分。
三、连续量的测量
是不是感觉回到了老郭擅长的物理啊,事实上,数学是一种抽象的思维方法,当然也包含着对物理操作的抽象。如前文所说的,那些离散的量,我们对其的操作是数(读属),而对于连续量,我们就需要进行测量。
比如随便抓两把黄豆比较那边的多,就可以找来两只碗,分别一个个放入黄豆,最后那边有剩余那边就多。但对于不可以数的连续量就不能这样操作了。比如比较两个人的身高,你可以让他们站在一起,谁的个头高一眼就能看出来。但如果是比较两个楼盘中的两栋楼,就不能把它们凑一块比较。
既然不能直接比较,自然就产生了间接比较的需要,出于间接比较的需要,就产生了单位。比如长度、时间、质量都是如此。随着不同地区的人大范围的比较需要,就产生了对于最基本的度量单位进行统一的需要,这种情况在中国秦朝的时候就出现了,叫做统一度量衡。
以测量距离为例,有一张弓的射程是150步,你自然会想到的是,把射程分割成150份,这里面的"步"就是最基本的测量单位,所以说测量离不开分割,连续量的测量,就是要把连续量分割成离散量进行数数后的比较。
四、连续量的表示方法
还是以前面那张弓为例,测量实际射出去的箭的射程会发现,每次发射,射程都不是在精确的150步,可能会远一点,也有可能会近一点。那么差的那点怎么办呢?其实也好办,就是找来一根绳子长度等于标准步长的绳子。
通过折叠绳子使得折叠后的长度刚好等于差的那点距离就可以了。如果绳子被折成7折,那么这张弓本次发射的距离可以是150右1/7步或者是149右6/7步。很显然,用这样方法得到的是一个用分数来表达的连续量。
然而,用分数来表达一个连续量并不直观。回忆一下初中数学中我们学到的实数轴,就是一根标记有零点、正方向、两端无限延伸的直线。由于直线是连续的,可以无限细分下去的,这样就是不论多少都能分割。
而直线上点的位置,可以用小数来表示。比如身高是176厘米,可以表示成1.76米。用这样的表示方法,别说是比较两个楼盘中楼宇的高度,就是去比较两个星球上山峰的高度也行。同样的,所有的连续量都可以用这样的数轴来表示,或者用它在数轴上的坐标(数字)来表示。
结束语
相信您看到这里应该明白了,数学中的离散量和连续量是真实存在的,它们是具有离散性质和连续性质的所有物体的高度抽象。希望看完本篇文章的您,能多少疗愈一些数学逃避反应,也祝您能在数学的海洋中——乘风破浪。
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