几何原本勾股定理

　　在上2篇文章《《几何原本》-平面几何基础（2）-定义、公设、公理，命题1~命题16 》、《《几何原本》-平面几何基础（3）-命题17~命题32 》中， 我对命题1~命题32的证明过程进行了讲解，这一讲我们继续命题33~命题48的讲解。
　　这里我重点介绍命题47，命题47是平面几何基础中最重要的一条命题。说它重要，是因为它对大名鼎鼎的勾股定理进行了证明，而这也是今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明方法。勾股定理导致了无理数的发现，并对数学发展历程产生了重大影响，在《勾股定理引发的第一次数学危机》中，我对勾股定理是如何一步一步证明无理数存在的，进行了详细介绍，大家如果感兴趣，可以回头去看这篇文章。
　　为了证明命题47（勾股定理），欧几里得需要用到命题4、命题14、命题31、命题41、命题46的结论。这一讲，我们依旧按顺序讲解命题33-命题48。命题33：在同一方向连接平行且相等的线段，连成的线段相互平行且相等。
　　已知直线AB平行于CD，且AB=CD。AC、BD是同一方向连接它们的线段。
　　目标：证明AC平行于BD，且AC=BD。
　　证明：
　　1、连接BC，因为AB平行于CD，所以内错角ABC=角DCB。（命题29）
　　2、又AB=CD，BC=CB，角ABC=角DCB，所以三角形ABC与三角形DCB全等，AC=DB，角ACB=角DBC。（命题4）
　　3、又因为角ACB与角DBC是内错角且相等，所以AC平行于BD。（命题27）
　　证明完毕。命题34：平行四边形的对边对角彼此相等，且对角线二等分平行四边形。
　　已知ACDB是平行四边形，BC是对角线。
　　证明：
　　1、因为ACDB是平行四边形，所以AB=CD，AC=BD，角A=角D。（定义22）
　　2、于是三角形ABC与三角形DCB全等（命题4）。
　　3、所以对角线CB平分平行四边形ACDB。
　　证明完毕。命题35：同底且在相同平行线之间的平行四边形面积彼此相等。
　　已知平行四边形ABCD和BCFE，它们有共同的底边BC且在相同平行线BC、AF之间。
　　目标：证明平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
　　证明：
　　1、因为ABCD是平行四边形，所以BC=AD。（命题34）
　　2、同理BC=EF，所以AD=EF，进而AE=DF。
　　3、因为ABCD是平行四边形，所以AB=CD，角A=角BCD。（命题34）
　　4、又BC与AF平行，所以内错角BCD=角CDF（命题27）。于是角A=角CDF。
　　5、于是在三角形ABE与三角形DCF中，角A=角CDF，AB=CD，AE=DF，所以三角形ABE与三角形DCF全等。（命题4）
　　6、两三角形同时减去三角形DEG，于是四边形ABGD与四边形EGCF面积相等。
　　7、两四边形再同时加上三角形BCG，于是平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
　　证明完毕。命题36：在等底上且在相同的平行线之间的平行四边形彼此面积相等。
　　已知平行四边形ABCD与EFGH在平行线BG、AH之间，且底边BC=FG。
　　目标：证明平行四边形ABCD与EFGH面积相等。
　　证明：
　　1、连接BE、CH。
　　2、因为EFGH是平行四边形，所以FG=EH。（命题34）
　　3、又BC=FG，所以BC=EH。
　　4、又AH平行于BG，BC=EH，所以EB平行于HC，EB=HC。（命题33）
　　5、因为AH平行于BG，BE平行于CH，于是角HCG=角EBG，角HCG=角AHC，所以角EBG=角AHC。（命题29）同理，角AEB=角HCG。
　　6、又角AEB+角HEB=两直角和，角HCG+角BCH=两直角和（命题13），角AEB=角HCG，所以角HEB=角BCH。
　　7、于是在四边形EBCH中，EH=BC，EB=HC，角EBG=角AHC，角HEB=角BCH，所以EBCH是平行四边形。（定义22）
　　8、因为平行四边形EBCH与平行四边形EFGH共底边EH，且在平行线AH、BG间，所以平行四边形EBCH与EFGH面积相等。（命题35）
　　9、同理平行四边形EBCH与ABCD面积相等，所以平行四边形ABCD与EFGH面积相等。
　　证明完毕。命题37：在同底上且在相同平行线之间的三角形彼此面积相等。
　　已知三角形ABC、BCD有公共边BC，且两三角形在平行线AD、BC之间。
　　目标：证明三角形ABC、BCD面积相等。
　　证明：
　　1、直线AD向两端分别延申至E、F，过点B作直线BE平行于AC，过点C作直线CF平行于BD。（命题31）
　　2、因为AE平行于BC，BE平行于CA，所以内错角ABC=角BAE，内错角CAB=角EBA。（命题29）所以角EAC=角EBC。
　　3、又AB=BA，于是三角形EAB与三角形CBA全等，AE=BC，EB=AC，角E=角ACB。（命题26）
　　4、又角EAC=角EBC，所以四边形EBCA是平行四边形。（定义22）同理，BCFD是平行四边形。
　　5、于是平行四边形EBCA、BCFD面积相等。（命题35）
　　6、又三角形ABC、BDC面积分别为平行四边形EBCA、BCFD面积的一半（命题34），所以三角形ABC、BDC面积相等。
　　证明完毕。命题38：在等底上且在相同平行线之间的三角形彼此面积相等。
　　已知三角形ABC、DEF在平行线BF、AD之间，BC=EF。
　　目标：证明三角形ABC、DEF彼此面积相等。
　　证明：
　　1、延长AD两端分别至G、H，过点B作AC的平行线BG，过点F作ED的平行线FH。（命题31）
　　2、因为GH平行于BF，AC平行于GB，DE平行于HF，所以四边形GBCA、DEFH是平行四边形。
　　3、又BC=EF，GH平行BF，所以平行四边形GBCA、DEFH面积相等。（命题36）
　　4、又AB、DF二等分平行四边形GBCA、DEFH面积。（命题34）
　　5、所以三角形ABC、DEF彼此面积相等。
　　证明完毕。命题39：在同底上且在底的同一侧的面积相等三角形在相同的平行线之间。
　　已知三角形ABC、DCB面积相等，BC是公共边，且两个三角形在BC的同一侧。
　　目标：证明三角形ABC、DCB在相同的平行线之间。
　　证明：
　　1、连接AD。
　　2、假设AD不平行于BC，过点A作AE平行于BC，并与BD相交于E。（命题31）
　　3、连接EC，因为三角形ABC与三角形EBC有公共底边BC，且在相同的平行线之间，所以三角形ABC与三角形EBC面积相等。（命题37）
　　4、又三角形ABC、DCB面积相等，所以三角形EBC、DCB面积相等。
　　5、而三角形EBC、DCB面积不相等，因此假设不成立，所以AD平行于BC。
　　6、所以三角形ABC、DCB在相同的平行线AD、BC之间。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明，思想新颖。 命题40：在等底上且在底的同一侧的相等三角形在相同的平行线之间。
　　已知三角形ABC和三角形CDE面积相等，底边BC=CE，两个三角形在BE同一侧。
　　目标：证明三角形ABC、CDE在相同的平行线之间。
　　证明：
　　1、连接AD。
　　2、假设AD不与BC平行，过点A作AF平行于BE，并与BD相交于F。（命题31）
　　3、连接EF，因为三角形ABC与三角形CEF底边BC=CE，且在相同的平行线之间，所以三角形ABC与三角形CEF面积相等。（命题38）
　　4、又三角形ABC、DCE面积相等，所以三角形CEF、DCE面积相等。
　　5、而三角形CEF、DCE面积不相等，因此假设不成立，于是AD平行于BE。
　　6、所以三角形ABC、CDE在相同的平行线AD、BE之间。
　　证明完毕。
　　说明：该命题的证明，作者采用先假设命题的对立结论成立，然后得出矛盾的方法，证明假设错误，命题正确。本卷中，作者多次采用假设法进行证明，思想新颖。 命题41：如果平行四边形和三角形既同底又在相同的平行线之间，那么平行四边形是三角形面积的二倍。
　　已知平行四边形ABCD与三角形EBC有公共边BC，且在平行线BC和AE之间。
　　目标：证明平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的二倍。
　　证明：
　　1、连接AC。因为三角形ABC、BCE有公共底边BC，又在平行线AE、BC之间，所以三角形ABC、BCE面积相等。（命题37）
　　2、又AC二等分平行四边形ABCD。（命题34）所以三角形ABC面积是平行四边形ABCD面积的一半。
　　3、所以平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的2倍。
　　证明完毕。命题42：用已知直线角作平行四边形，使它面积等于已知三角形面积。
　　已知角D以及三角形ABC。
　　目标：在角D基础上作一个平行四边形，且该平行四边形面积与三角形ABC面积相等。
　　证明：
　　1、作BC的二等分点E。（命题10）
　　2、连接AE，以E为顶点，作以EC为边的角CEF=角D。（命题23）
　　3、过点A作AG平行于EC。（命题31）过点C作CG平行于EF。（命题31）
　　4、因为BE=EC，AG平行于BC，所以三角形ABE与AEC面积相等。（命题38）
　　5、所以三角形ABC面积是三角形AEC面积的2倍。
　　6、又三角形AEC与平行四边形FECG共底EC，且在平行线AG、BC之间，所以平行四边形FECG面积是三角形AEC面积的2倍。（命题41）
　　7、所以平行四边形FECG与三角形ABC面积相等。
　　证明完毕。命题43：在任意平行四边形中，对角线两侧的平行四边形的补形彼此相等。
　　已知ABCD是平行四边形，连接AC，取AB上任一点E，过点E作EF平行于AD，EF与AC交于K。过点K作GH平行于AB，GH与AB、BC相交于H、G。
　　目标：证明平行四边形HKFD与EBGK面积相等。
　　证明：
　　1、在平行四边形ABCD中，AC是对角线，所以三角形ABC与ACD面积相等。（命题34）
　　2、又AB平行HG，AD平行EF，所以AEKH是平行四边形。
　　3、又AK是对角线，所以三角形AEK与AHK面积相等。（命题34）
　　4、同理，三角形KGC与KFC面积相等。
　　5、所以补形HKFD与EBGK面积相等。
　　证明完毕。命题44：用已知线段及已知直线角作一个平行四边形，使它等于已知三角形。
　　已知AB是给定直线，C是给定三角形，D是给定直线角。
　　目标：利用已知直线AB、给定三角形C、给定直线角D，作面积等于三角形C的平行四边形。
　　证明：
　　1、过已知直线AB端点B作平行四边形BEHG，且BE在直线AE上，角EBG=已知角D，平行四边形面积等于已知三角形C。（命题42）
　　2、延长FG至H，过点A作AH平行于BG。（命题31）
　　3、连接HB。延长HB、FE相交于点K。
　　4、过点K作KL平行于FH（命题31），并与GB、HA延长线分别相交于点M、L。
　　5、所以FHLK、GHAB、EBMK是平行四边形。
　　6、又HK、HB、BK共线，且是上述三个平行四边形的对角线。
　　7、所以平行四边形BALM与FGBE互为补形，且面积相等。（命题43）
　　8、又对顶角GBE=角ABM（命题15），角GBE=已知角D，所以角ABM=已知角D。
　　9、又平行四边形FGBE面积等于已知三角形C，所以平行四边形BALM面积等于已知三角形C。
　　10、又已知线段AB是平行四边形BALM的边，所以平行四边形BALM符合我们目标。
　　证明完毕。命题45：用一个已知直线角作一个平行四边形使它面积等于已知直线形。
　　已知ABCD是给定直线图形，E是给定直线角。
　　目标：用已知角E作平行四边形，且该平行四边形面积等于直线图形ABCD。
　　证明：
　　1、连接BD，作平行四边形FKHG，使其面积等于三角形ABD，且角HKF等于已知角E。（命题42）
　　2、在线段GH上作平行四边形GHML，使其面积等于三角形DBC，且角GHM等于已知角E。（命题44）
　　3、因为角HKF=角E，角GHM=角E，所以角HKF=角GHM。
　　4、又FKHG是平行四边形，所以FK平行GH，角HKF+角GHK=两直角和。（命题29）
　　5、又角HKF=角GHM，于是角GHM+角GHK=两直角和，因此KH、HM共线。（命题14）
　　6、于是KM平行FG，所以角GHM=角FGH。（命题29）
　　7、又HMLG是平行四边形，所以HM平行GL，角GHM+角HGL=两直角和。（命题29）
　　8、于是角FGH+角HGL=两直角和，因此FG、GL共线。（命题14）
　　9、因为FK平行且等于GH，GH平行且等于LM。（命题34）所以FK平行且等于LM。（命题30）
　　10、所以FL平行且等于KM（命题33），所以FKML是平行四边形。
　　11、又平行四边形FKHG面积等于三角形ABD，平行四边形GHML面积等于三角形DBC，所以平行四边形FKML面积等于直线图形ABCD。
　　证明完毕。命题46：在已知线段上作正方形。
　　已知AB是给定线段。
　　目标：以AB为边作正方形。
　　证明：
　　1、过线段AB上点A作AC垂直于AB。（命题11）
　　2、取AD=AB。（命题3）
　　3、过点D作DE平行于AB。（命题31）过点B作BE平行于AD。（命题31）
　　4、所以ABED是平行四边形，所以AB=DE，AD=BE。（命题34）
　　5、又AB=AD，所以AB=DE=AD=BE。
　　6、因为AC垂直AB，所以角A是直角。
　　7、因为ABED是平行四边形，所以角E=角A，角E是直角。（命题34）
　　8、因为AB平行DE，所以角A+角ADE=两直角和。（命题29）
　　9、因为角A是直角，所以角ADE是直角。
　　10、又角B=角ADE。（命题34）因为角ADE是直角，所以角B是直角。
　　11、于是平行四边形ABED四边相等，四个都是直角，因此ABED是正方形。（定义22）
　　证明完毕。命题47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹直角两边上的正方形的面积和。
　　已知三角形ABC，角BAC是直角。
　　目标：证明以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
　　证明：
　　1、以AB、AC、BC为边做正方形ABFG、ACKH、BCED。（命题46）
　　2、过点A作AL平行于BD。（命题31）
　　3、连接AD、FC。
　　4、因为BAC、BAG为直角，所以AC、AG共线。（命题14）
　　5、同理，AB、AH共线。
　　6、因为角DBC=角FBA，角ABC=角CBA，所以角ABD=角FBC。
　　7、又BD=BC，AB=BF，所以三角形ABD与三角形FBC全等。（命题4）
　　8、因为三角形ABD与平行四边形BDLI共底BD，且在平行线BD、AL之间，所以平行四边形BDLI面积是三角形ABD面积的2倍。（命题41）
　　9、又因为三角形FBC与平行四边形FBAG共底FB，且在平行线FB、GC之间，所以平行四边形FBAG面积是三角形FBC面积的2倍。（命题41）
　　10、因此平行四边形BDLI面积等于平行四边形FBAG。
　　11、连接BK、AE。同理，平行四边形ILEC面积等于平行四边形ACKH。
　　12、所以正方形BDEC的面积等于正方形GFBA、ACKH面积之和。
　　所以以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
　　证明完毕。
　　说明：本命题就是大名鼎鼎的勾股定理。 命题48：如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的面积和，则夹在后两边之间的角是直角。
　　已知三角形ABC，且以BC为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积和。
　　目标：证明角BAC是直角。
　　证明：
　　1、过点A作AD垂直于AC（命题11），且AD=AB（命题3）。
　　2、连接DC，因为角CAD是直角，所以以CD为边的正方形面积等于以DA、AC为边的正方形面积之和。（命题47）
　　3、又AD=AB，所以以CD为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积之和。
　　4、又以BC为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积和。
　　5、所以BC=CD，又CA=CA，AB=AD，所以角CAB=角CAD=直角。（命题8）
　　证明完毕。
　　说明：本命题是勾股定理的逆命题。
　　好了，今天的讲解就到这里了。
　　后面我带着大家继续学习《几何原本》
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