过年玩几个数学游戏

　　作者肖韧吾感谢作者授权好玩的数学发布。过年还在做数学题吗？那也太辛苦了，来几个数学游戏放松放松吧。
　　I。取糖果游戏
　　1。网上的一个智力游戏不久前，在网上可以看到这样一个双人智力游戏：
　　在桌上放13颗糖果，两个游戏者轮流拿，每次取糖果不超过3颗，不可不取，取完为止。
　　取得糖果总数为偶数的人获胜。
　　即使聪明人，要获胜也不容易。不过如果找出了其中的奥妙，先取者可保必胜，就是说有必胜策略。下面会说明这个必胜策略。
　　2。游戏的推广这个游戏可以推广，将13换成任意奇数n（当然不能太小）。
　　有数学修养的人遇到这类游戏会想：有没有必胜策略呢？就是说有没有办法保证获胜呢？
　　对于这个游戏，答案是肯定的：当n3，5，7（mod8）时先取者有必胜策略，而当n1（mod8）时后取者有必胜策略。
　　那么，知道必胜策略的人，就可以包赢了？这里要稍做一点说明：如果参加游戏的一方知道必胜策略而另一方不知道，那么知道必胜策略的一方可以稳扎稳打，一旦遇到一种可保必胜的情形就抓住不放，从而锁定胜局；而不知道必胜策略的一方，每次操作都按必胜策略的概率太小了，几乎迟早一定会让对方抓到机会，此后就必败无疑了。
　　3。一个引理要说明上面的必胜策略，关键是下面的引理。
　　引理I。1。设甲乙两人做上面的推广的取糖果游戏，在轮到甲取糖果时桌上还有m颗糖果。则当m2，3，6，7（mod8），或m1，4（mod8）且甲手上的糖果数是奇数，或m0，5（mod8）且甲手上的糖果数是偶数时，甲有必胜策略；而在其他情形乙有必胜策略。
　　证。对m用归纳法，当m4时不难直接验证。
　　设m5，对于m模8及甲手上的糖果数的奇偶性的各种可能情形分别讨论。
　　若m5（mod8）且甲手上的糖果数是偶数，则乙手上的糖果数也是偶数，此时A可取1颗糖果，使得乙遇到或m4（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m6（mod8），则甲当手上的糖果数是偶数时（即乙手上的糖果数是奇数时）取1颗糖果，使得乙遇到m5（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形；而当手上的糖果数是奇数时（即乙手上的糖果数是偶数时）取2颗糖果，使得乙遇到m4（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m7（mod8），则甲当手上的糖果数是偶数时（即乙手上的糖果数是偶数时）取3颗糖果，使得乙遇到m4（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形；而当手上的糖果数是奇数时（即乙手上的糖果数是奇数时）取2颗糖果，使得乙遇到m5（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m0（mod8）且甲手上的糖果数是偶数，则乙手上的糖果数是奇数，此时甲可取3颗糖果，使得乙遇到m5（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m1（mod8）且甲手上的糖果数是奇数，则乙手上的糖果数也是奇数，此时甲可取1颗糖果，使得乙遇到m0（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m1（mod8），则甲当手上的糖果数是偶数时（即乙手上的糖果数是奇数时）取2颗糖果，使得乙遇到m0（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形；而当手上的糖果数是奇数时（即乙手上的糖果数是偶数时）取1颗糖果，使得乙遇到m1（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m3（mod8），则甲当手上的糖果数是偶数时（即乙手上的糖果数是偶数时）取2颗糖果，使得乙遇到m1（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形；而当手上的糖果数是奇数时（即乙手上的糖果数是奇数时）取3颗糖果，使得乙遇到m0（mod8）且手上的糖果数是奇数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　若m4（mod8）且甲手上的糖果数是奇数，则乙手上的糖果数是偶数，此时甲可取3颗糖果，使得乙遇到m1（mod8）且手上的糖果数是偶数的情形，从而由归纳法假设可见甲有必胜策略。
　　余下还有4种情形：m1，4（mod8）且甲手上的糖果数是偶数，或m0，5（mod8）且甲手上的糖果数是奇数。对这些情形不难逐一验证：无论甲取几颗糖果，留给乙的都是有必胜策略的情形。
　　这样就完成了归纳证明。证毕。
　　注意在引理I。1的证明中，对于甲有必胜策略的每种情形，都给出了一种必胜策略的操作方法。特别地，对于网上的游戏（n13的情形），先取者可按此给出必胜的操作方法。
　　4。游戏规则的改变将取糖果游戏按原来的操作规则但改变胜负规则，就成了下面的游戏。
　　在桌上放n颗糖果（n为奇数），两个游戏者轮流拿，每次取糖果不超过3颗，不可不取，取完为止。
　　取得糖果总数为奇数的人获胜。
　　这个游戏仍然是有趣的，而且难度与原来的取糖果游戏相同。那么是否也有必胜策略呢？
　　答案是肯定的：当m1，3，7（mod8）时先取者有必胜策略，而当m5（mod8）时后取者有必胜策略。
　　要说明上面的必胜策略，关键是下面的引理。
　　引理I。2。设甲乙两人做上面的推广的取糖果游戏，在轮到甲取糖果时桌上还有m颗糖果。则当m2，3，6，7（mod8），或m1，4（mod8）且甲手上的糖果数是偶数，或m0，5（mod8）且甲手上的糖果数是奇数时，甲有必胜策略；而在其他情形乙有必胜策略。这个引理的证明可以仿照引理I。1的证明，此处从略。
　　II。最简单的棋与取棋子游戏
　　1。最简单的棋笔者在上小学时，校园里流行过这样一种棋：它的棋盘只有一排8个方格，在第1，3，5格中各放一枚棋子（见下图）。
　　二人对弈，奕者双方递行一着。每个奕者每次任取一枚棋子向右移动若干格（至少一格，至多不限，允许在一格中放入多枚棋子）。走最后一步者输。
　　作为小学生，玩这个游戏还是有点难度的，而且没看到其中的奥妙。直到上了中学以后，才明白这个游戏是有必胜策略的。
　　首先可以将这个游戏推广，棋盘仍是一排方格，但格数不限。在一些方格中放入棋子，一个格中可以放多枚棋子。仍是二人对弈，奕者双方递行一着。每个奕者每次任取一枚棋子向右移动若干格（至少一格，至多不限）。走最后一步者输。
　　以下将这种棋称为单行棋。下面将说明单行棋的必胜策略。
　　2。取棋子游戏这也是个双人游戏。在桌上放若干堆棋子（每堆棋子的个数不限），每个游戏者每次任选一堆从中取走任意多枚棋子（至少一枚，至多不限）。取最后一枚棋子者输。
　　我们首先来说明，这个取棋子游戏与单行棋在数学上是等价的。
　　将单行棋的棋盘各格标号，最右边的一格标号0，然后从右到左依次标号1，2，3，（如下图）。
　　设开始时在棋盘上放了m枚棋子，编号依次为从1到m，第i号棋子所在的格的标号记为ni（1im）。将此单行棋对应于如下的取棋子游戏：在桌上预先放m堆棋子（编号依次为从1到m），其中第i堆的棋子数为ni（1im）。
　　在单行棋中走一步，相当于将某一个非零的ni减小（至少减小1，至多可以减小到0）；另一方面，在取棋子游戏中，每次取走一堆棋子中的若干枚，相当于将某一个非零的ni减小（至少减小1，至多可以减小到0）。这样，我们就可以将单行棋中第i号棋子向右移动s格对应于取棋子游戏中从第i堆棋子中取走s枚。这样，在单行棋中走最后一步就对应于取棋子游戏中取最后一枚棋子。这就说明单行棋与取棋子游戏在数学上是等价的。
　　在数学中经常可以遇到类似的情形：两个不同的问题却可以用同一种数学方法处理。
　　取棋子游戏的历史很老，至少在民国时期的文献中就有必胜策略。不过下面的一些变化是较新的。单行棋则未在很早的文献中见到，尽管它在数学上与取棋子游戏等价。
　　3。胜负规则的改变
　　也是与取糖果游戏相似，单行棋（或取棋子游戏）的胜负规则也可以改为走最后一步者赢（或取最后一颗棋子者赢）。为了与前面所说的游戏区别，我们将前面所说的单行棋称为单行棋A，而将按走最后一步者赢规则的单行棋称为单行棋B；类似地将前面所说的取棋子游戏称为取棋子游戏A，而将按取最后一颗棋子者赢规则的取棋子游戏称为取棋子游戏B。
　　我们将看到，尽管游戏A与游戏B的胜负规则正相反，难度和复杂度却几乎相同，而且必胜策略也几乎相同。
　　4。单行棋或取棋子游戏的必胜策略
　　单行棋，或者与之等价的取棋子游戏，也是有必胜策略的。这个必胜策略要用到二进制数。
　　设aaaar和bbbbr为两个二进制数，其中每个ai或bi等于0或1，令ciaibi（mod2），也等于0或1（1ir），称二进制数ccccr为a与b的半和，记为cab。易见这样定义的半加法运算满足交换律和结合律，此外还有aa0。
　　引理II。1。甲乙二人对弈单行棋。设在对弈过程中轮到甲行棋时，棋盘上有m颗棋子，所在的格号分别为且这些格号都表为二进制数。令则当时，甲总有办法移动一颗棋子使得行棋后的t变为0；而当t0时，甲无论如何行棋结果都会使t变为非0。证。设t的最高位非零数是右数第i位（相当于），则至少有一个的右数第i位非零，这样。令，将第j号棋子右移s格，就将改变为而保持其他不变，从而将t改变为；另一方面，若t0而甲将第j号棋子右移s格使得改变为，则至少有一位数字与不同，从而移动第j号棋子后t变为非零。证毕。
　　注意引理II。1的证明中，对于t0的情形给出了将t变为0的操作方法。
　　我们下面先讨论单行棋B（或取棋子游戏B）的必胜策略，这比较简单些。
　　必胜策略是：奕者甲若遇到t0的情形，就按引理II。1的证明中的方法操作将t变为0，由引理II。1可知，尔后遇到的总是t0的情形，所以甲每次都可以操作使得t变为0。由于每次操作都使得一个ti变小，这个过程最终将终止，就是所有ti都变为0，此时t0，故最后一次操作是由甲完成的。若甲遇到t0的情形，则不要着急慢慢行棋，如果对手不知道必胜策略，则一直按照必胜策略操作的概率很小，甲只要得到一次t0的机会，就可以锁定胜局了。
　　那么单行棋A（或取棋子游戏A）的必胜策略呢？
　　基本上与单行棋B（或取棋子游戏B）的必胜策略相同，就是奕者甲先慢行，等待遇到t0的情形，通过操作使得t变为0，然后保持这种状态，只是到游戏接近尾声时要改变一下策略。所谓游戏接近尾声时，是指在甲的某次操作后所有ti中除了两个2外其余都是1或0，此时其中1的个数必为偶数。如果乙将某个ti1变为0，则甲将另一个tj1变为0（即仍保持前述策略）；如果乙将某个ti变为0，则甲将另一个tj变为1；如果乙将某个ti变为1，则甲将另一个tj变为0；这样就给乙留下奇数个1，所以最后一次操作者必为乙。
　　5。加上限条件的游戏
　　在单行棋的操作规则中，每次可将一枚棋子向右移动任意多格，就是说移动的格数没有上限。如果对于移动的格数加个上限，就成了一个更复杂的游戏，详述如下。
　　单行棋Ak。棋盘是一排方格，格数不限。在一些方格中放入棋子，一个格中可以放多枚棋子。二人对弈，奕者双方递行一着。每个奕者每次任取一枚棋子向右移动1至k格（其中k是一个大于1的整数）。走最后一步者输。
　　同样可以改变胜负规则，这样给出了另一个游戏。
　　单行棋Bk。棋盘是一排方格，格数不限。在一些方格中放入棋子，一个格中可以放多枚棋子。二人对弈，奕者双方递行一着。每个奕者每次任取一枚棋子向右移动1至k格（其中k是一个大于1的整数）。走最后一步者赢。
　　对于取棋子游戏也可以仿此加上取子个数的上限条件。
　　取棋子游戏Ak。在桌上放若干堆棋子（每堆棋子的个数不限），每个游戏者每次任选一堆从中取走若干枚棋子，至少取1枚至多取k枚（其中k是一个大于1的整数）。取最后一枚棋子者输。
　　加上限的取棋子游戏的特殊情形最早见于〔1〕（相当于取棋子游戏A）。
　　对于加上限的取棋子游戏同样可以改变胜负规则，这样给出了另一个游戏。
　　取棋子游戏Bk。在桌上放若干堆棋子（每堆棋子的个数不限），每个游戏者每次任选一堆从中取走若干枚棋子，至少取1枚至多取k枚（其中k是一个大于1的整数）。取最后一枚棋子者赢。
　　注意取棋子游戏Ak与单行棋Ak在数学上等价，而取棋子游戏Bk与单行棋Bk在数学上等价。
　　6。加上限条件的游戏的必胜策略
　　加上限的单行棋，或者与之等价的加上限的取棋子游戏，也是有必胜策略的。
　　这个必胜策略也要用到二进制数，此外还要做一点准备。我们先来讨论单行棋Bk，或等价的取棋子游戏Bk。
　　对于一个非负整数a，记为a模k1的余数，并表为二进制数。对任意两个非负整数a，b，记
　　称为a与b的余半和。对于多个非负整数，则将它们都取模k1的余数然后再取半和称为余半和。易见这样定义的余半加法运算满足交换律和结合律，此外还有。
　　引理II。2。甲乙二人对弈单行棋。设在对弈过程中轮到甲行棋时，棋盘上有m颗棋子，所在的格号分别为，，，。令
　　则当时，甲总有办法移动一颗棋子使得行棋后的变为0；而当时，甲无论如何行棋结果都会使变为非0。证。设的最高位非零数是右数第位（相当于），则至少有一个的右数第位非零，这样。令，注意，可见。若甲将第号棋子右移格，就将改变为而保持其他不变，注意，从而这一移动将改变为；另一方面，若而甲将第j号棋子右移s格（）使得改变为，则至少有一位数字与不同（有可能，此时由于，必有），从而移动第j号棋子后变为非零。证毕。
　　注意引理II。2的证明中，对于的情形给出了将变为0的操作方法。
　　与单行棋B（或取棋子游戏B）的情形类似，由引理II。2即可得到单行棋Bk（或取棋子游戏Bk）的必胜策略如下。
　　甲若遇到的情形，就按引理II。2的证明中的方法操作将变为0，由引理II。2可知，尔后遇到的总是的情形，所以甲每次都可以操作使得变为0。由于每次操作都使得一个变小，这个过程最终将终止，就是所有都变为0，此时，故最后一次操作是由甲完成的。若甲遇到的情形，则不要着急慢慢行棋，如果乙不知道必胜策略，则一直按照必胜策略操作的概率很小，甲只要得到一次的机会，就可以锁定胜局了。
　　单行棋（或取棋子游戏）的必胜策略，基本上与单行棋（或取棋子游戏）的必胜策略相同，就是甲先慢行，等待遇到的情形，通过操作使得变为0，然后保持这种状态，只是到游戏接近尾声时要改变一下策略。所谓游戏接近尾声时，是指在甲的某次操作后所有中除了两个2外其余都是1或0，此时其中1的个数必为偶数。此时如果乙将某个变为0，则甲将另一个变为0（即仍保持前述策略）；如果乙将某个变为0，则甲将另一个变为1；如果乙将某个变为1，则甲将另一个变为0；这样就给乙留下奇数个1，所以最后一次操作者必为乙。
　　注。引理II。2的证明中所具体给出的必胜策略，并不是唯一的必胜策略。
　　由引理II。2立得下面的推论。
　　推论II。1。甲乙二人对弈单行棋Ak（或取棋子游戏Ak），甲先行。假设开始时至少有1堆棋子的个数模k1的余数1。如果开始时余半和为0，则乙有必胜的策略；反之则甲有必胜的策略。
　　III。称球问题
　　1。12球问题
　　可能很多人都见过下面这个智力游戏（或智力测验）问题。
　　12球问题。有12个球，外表看上去都一样，其中11个球重量相同（为方便起见简称为正常球），而另一个球的重量与正常球不同（称为异常球），但不知异常球比正常球重些还是轻些。现在用一台天平，要求只称3次就将异常球找出来。请给出一种称法。
　　这个问题的历史也比较老，至少在60年前就有多种解法，这些解法无一例外都有很强的逻辑性，显示12球问题的高难度。现在要搜到12球问题的一两种解法应该不难，这里就不举例了。
　　有数学修养的人遇到12球问题可能会想：12这个数有什么特殊之处吗？如果将12换成11或13，是否也是一个好问题呢？答案是肯定的，但对于13个球的情形，下面将看到一点小的差异。而若将12换成14，则问题无解，就是说不能保证称3次就找出异常球。
　　我们下面要做的，一是给出12球问题的推广，二是从数学上给出另一个思路，使得问题很容易解决。
　　2。一般的称球问题
　　对于12球问题，还有一点细节值得注意：在找出异常球的同时，能否判断异常球比正常球重还是轻？原问题中没有提这个要求，实际上加了这个要求问题仍然是可解的，只是要做得更细致些（参看见下面第5节）。
　　如果在称的过程中，有一次天平的两边放着同样数目的球，其中有异常球，那么天平是不平衡的。如果天平的左边重而异常球在左边，就可判断异常球比正常球重；而若天平的左边重而异常球在右边，则可判断异常球比正常球轻。对于天平的右边重的情形同样可以作判断。唯一问题是，如果每次称都没有把异常球放在天平上，那么每次称天平都是两边平衡，即使找到异常球也不能判断异常球比正常球重还是轻。
　　所以，加上判断异常球比正常球重还是轻这个要求，相当于要求每个球至少要上天平称一次。这与原问题有所不同，称为加强的问题。
　　对于一般的球数，问题应该如下提出。
　　称球问题。有n3个球，外表看上去都一样，其中n1个球的重量相同，称为正常球；而另一个球的重量与正常球不同，称为异常球，但不知道异常球比正常球重还是轻。现在用一台天平，问至少要允许称多少次，才能保证将异常球找出来？
　　由于上面提到的细节，还有一个稍不同的问题。
　　加强的称球问题。有n3个球，外表看上去都一样，其中n1个球的重量相同，称为正常球；而另一个球的重量与正常球不同，称为异常球，但不知道异常球比正常球重还是轻。现在用一台天平，问至少要允许称多少次，才能保证将异常球找出来，并判定异常球比正常球重还是轻？
　　3。称球问题的答案
　　一般的称球问题的历史也较老，至少50年前就有人给出解答，但至今尚未见到正式发表，所以这里无法引用。我们先将结果陈述如下。
　　定理III。1。对于个球的称球问题，为保证找出异常球，至少要称〔log（2n1）〕1
　　次。而对于n3个球的加强的称球问题，为保证找出异常球并判定异常球比正常球重还是轻，至少要称〔log（2n1）〕1次。
　　可能很多人初看这些断言难以立刻理解，我们可以换一个方式陈述：对于n3个球的称球问题，若要保证称d次就找出异常球，充分必要条件是
　　而对于n3个球的加强的称球问题，若要保证称次就找出异常球并判定异常球比正常球重还是轻，充分必要条件是
　　特别地，由此可见12球问题在加强后也是有解的。
　　定理III。1的证明颇不简单且颇有难度，但不需要用什么高深的工具，完全是初等的，此处从略，有兴趣且喜欢解难题的读者，不妨自己试做一个证明。
　　4。预先设计称法的解决方案
　　按照定理III。1的证明，对于具体的问题都可以给出称法，但随着n的增加越来越复杂，每次称过后都要根据多种情形分别作判断，并设计下一次的称法。作为智力游戏是高难度的。
　　数学上常有这种情况：对一个问题，按某一种思路去解决既复杂又困难，但换一种思路，却可能柳暗花明又一村，收到意想不到的效果。对称球问题和加强的称球问题就是这样。
　　我们来这样设想：假如我们能预先设计好一种称球方案，只要按这个方案去称，不管称的结果如何，在表上一查就可以找到异常球，那多简单呀！有没有这样的近乎傻瓜方案呢？不但有，而且很多。
　　我们来做点较详细的说明。找异常球的列表方案，就是先将n个球分别标上1至n的号，然后用一个表规定各次称球在左盘上和右盘上各放哪些球，称完后，按照各次称的结果，由另一个表查找，即可找到异常球的号码，对于加强的称球问题还可从表上看到异常球比正常球重还是轻。
　　定理III。2。对于n3个球的称球问题和加强的称球问题，都可以预先设计称法。详言之，先将n个球分别标上1至n的号，对于称球问题，可以预先给出d〔log（2n1）〕1次的称法（即每次称在左盘和右盘各放的球号），并另给出一个对照表，根据各次称的结果即可从表中查出异常球的号码。而对于n3个球的加强的称球问题，也是按球号预先给出d〔log（2n1）〕1次的称法（即每次称在左盘和右盘各放的球号），并另给出一个对照表，根据各次称的结果即可从表中查出异常球的号码，并判定异常球比正常球重还是。
　　我们注意两个要点：一是预先设计的称法不需要在称的过程中调整，甚至称的先后次序也无关紧要；二是这样设计的称法是按照最少需要称的次数，并不因为方法简单方便而增加称的次数。
　　下面来解释称法表的设计原理。将天平的左盘记为1，右盘记为1。将n个球分别标上1至n的号，对每个球赋予一个d元向量，它的每个分量只能是1，1或0，第i个球所对应的向量记为vi（1in）。这个向量的意义是：若vi的第j分量为1，则在第j次称时将第i个球放在天平的左盘；若vi的第j分量为1，则在第j次称时将第i个球放在天平的右盘；若vi的第j分量为0，则在第j次称时不将第i个球放在天平上。这些向量需要满足下列条件：
　　i）若，则；
　　ii）；
　　对于加强的称球问题还要加一个条件
　　iii）。
　　条件i）是为了保证从称的结果找到异常球，根据称的结果可以得到一个向量v：若第j次称的结果是左盘重，则v的第j分量为1；若第j次称的结果是右盘重，则v的第j分量为1；若第j次称的结果是两边平衡，则v的第j分量为0（1jn）。易见若第i号球是异常球且比正常球重，则viv；若第i号球是异常球且比正常球轻，则viv，而条件i）保证了满足viv或viv的i的唯一性。条件ii）的意义是对每个j（1jn），第j分量为1的向量与第j分量为1的向量一样多，即第j次称时左右两盘中的球数相同。若条件iii）也成立，则v0，而由viv或viv可以判定第i号球（异常球）比正常球重还是轻。
　　引理III。1。设整数。若，则存在n个d元向量其每个分量都等于1，1或0，且满足条件i）和ii）；此外若，则条件iii）也满足。
　　这个引理的证明方法是归纳地构造，技术性较强，此处从略。由引理III。1即可得到定理III。2。
　　一旦有了称法表，用天平找异常球就是很容易的事了。
　　引理III。1的证明给出构造称法表的一个方法，但称法表有很多构造方法，尽管都不很简单也不很容易。
　　笔者在四十多年前曾编了一个程序，对一般的n可以构造称法表，这样构造称法表也就很容易了。
　　5。12球问题的一个称法表
　　下面是用电脑对12球问题构造的一个称法表，其中表1说明各次用天平称时左、右盘中放的球的号码，由称的结果，从表2中就可以找到异常球号，而且知道异常球比正常球重还是轻（故这个称法表可用于加强的称球问题）。
　　（表2中的表示不可能出现的情形。）
　　例如，若第1次称（左盘放2，5，8，10号球，右盘放1，4，7，12号球）天平的左盘比右盘重，第2次称（左盘放3，6，9，10号球，右盘放2，5，8，12号球）右盘比左盘重，第3次称（左盘放1，2，3，12号球，右盘放4，5，6，11号球）两盘平衡，则由表2可以查出异常球为8号球，比正常球重。
　　参考文献〔1〕牛伟强：数学中的几个小游戏遗留问题的探索，《数学通报》11（2009）〔2〕肖韧吾：也谈取棋子游戏。《数学通报》12（2009）〔3〕尹裕：自由棋，《小学生数学报》1996年第398401期〔4〕张慧欣：数学中的几个小游戏，《数学通报》11（2008）