与哥德尔一起散步

　　据说爱因斯坦之所以一直定居在普林斯顿，能有机会与比他年轻27岁的哥德尔一起散步也是一个重要原因。（资料图图）
　　凡是我们不能言说的，对之必须保持缄默。
　　维特根斯坦
　　牛津的数学天才
　　为一部悬疑小说撰写导言，可不是一件轻松愉快的事，因为你必须小心翼翼，不能透露太多有关凶手的信息。否则，一旦走漏风声，不幸购买此书的读者一定会记恨于你。尤其这部小说的作者同时也是一位数学家，书中几乎提及了20世纪所有重要的数学进展，并以此为一起连环凶杀案增加了悬疑气氛，为读者设置了智力障碍。幸好，笔者在数学方面学有所长，后面这一点才没有增加我的阅读难度。在此，笔者将利用自己所掌握的数学知识，对本书的人物和背景作一个尽可能清晰的梳理。
　　这部小说用第一人称来叙述，主人公和小说的作者一样是阿根廷人，布宜诺斯艾利斯大学数学系的毕业生。说起布大笔者曾到访过，它是革命者切格瓦拉的母校，那位擅长虚构和推演的大作家博尔赫斯成名后也担任过该校的西班牙语文学教授。1993年夏天，这位年方二十二岁的小伙子得到一笔奖学金，远赴英伦来到牛津大学深造。他的导师艾米莉布朗森是一位才高心细的女教授，把学生安排在自己老师的遗孀伊格尔顿太太家寄宿，与老太太同住的则是她年轻貌美的孙女、大提琴手贝丝小姐。
　　贝丝小姐的双亲在一起车祸中身亡，她是祖父家产惟一的继承人，自小受到祖母的严厉管束，为此感到非常苦闷。老太太虽然坐在活动轮椅上，但智力仍不减当年，她年轻时曾是全英国填字游戏大赛的优胜者，因此被征召入伍，成为阿兰图灵率领的破译纳粹德国通讯密码的数学家团队成员，得以结识后来的丈夫伊格尔顿先生。图灵是位数学天才，后来他为计算机提供了最重要的设计理念，直到今天，计算机仍无法脱离他的理想模型：输入输出装置（带子和读写头）、存储器和中央处理器（控制机构）。
　　可是，图灵的性取向却一直得不到同代人的理解，后来，他因为不堪忍受强迫性的治疗，食用含有剧毒的苹果身亡，年仅41岁。如今，图灵机和图灵测试已是计算机理论和人工智能研究的基石，图灵奖成为计算机领域的诺贝尔奖，而一家叫苹果的美国公司则誉满全球。
　　没想到的是，主人公抵达英伦没几天，图灵昔日的助手伊格尔顿太太就在家里被人谋害了。同时发现这起谋杀案的是两位数学家，一位便是主人公，另一位带有浓重的苏格兰口音，他是伊格尔顿从前的得意门生、大名鼎鼎的逻辑学家阿瑟塞尔登教授。
　　逻辑学与密码纸条
　　逻辑学是介乎数学和哲学之间的一门学问，成就最大的当属奥地利出生的哥德尔（如今他的出生地归属捷克的摩拉维亚），他是物理学家爱因斯坦晚年的挚友和知己。据说爱因斯坦之所以一直定居在普林斯顿，能有机会与比他年轻27岁的哥德尔一起散步也是一个重要原因。哥德尔的两条不完备性定理表明，没有哪一部分数学能做到完全的公理推演，也没有哪一部分数学能保证其内部不存在矛盾。这是否意味着，有些案件是无法通过推理解破的？而塞尔登正是因为对哥德尔定理作了进一步的延拓，被视作逻辑学的权威。
　　从凶手故意留下的密码纸条来看，他是一个精通数学的人，很可能是塞尔登教授的一个崇拜者和挑衅者，比如在某次数学考试中遭遇了失败。果然没过多久，另一起凶杀案便发生了，这回遇害人是一个住院的老人，他的邻床是一位卓有成就的业余数学家，发展了维特根斯坦的语言游戏说和遵守规则。说起奥地利出生的哲学家维特根斯坦，他和老乡哥德尔曾双双入选美国《时代》周刊20世纪最有影响力的20位科技和学术精英。在笔者看来，他们中的一个是最具哲学意味的数学家，另一个是最具数学意味的哲学家。
　　维特根斯坦的名著《哲学研究》虽然研究的是语言问题，却与数学有着千丝万缕的联系。例如，他在书中引入了这样一个数列：1，5，11，19，29
　　不难看出，前后两个数的差构成一个等差数列4、6、8、10于是很自然地推断出下一个数是291241。另一方面，也有人尝试用通项公式来表示，并最终发现ann2n1，这样一来，也有a641。
　　显而易见，这两种方法殊途同归。因此，维特根斯坦这位主要在英国度过学术生涯的哲学家认为，在任何时候接受什么样的规则或反对什么，都是我们的自由。他还认为，我们可以遵循看起来清清楚楚的程序，但却无法预知这个程序将把我们引向何处。维特根斯坦的另一部名著是《逻辑哲学论》，它讨论的中心问题是，语言是如何成其为语言的？让他惊讶和好奇的是一个大众早已司空见惯的事实：一个人居然能听懂以前从未听到过的句子。
　　虽说凶手又在一个显眼的地方留下了密码纸条，但几位数学高手都未能破译，更不要说牛津警察局那位探长了。第三位遇害人是贝丝小姐所在乐队的同事，一位患有严重肺气肿的打击乐手。这回疑犯留下的密码纸条终于让主人公有了眉目，每张纸条上的一个符号可能是毕达哥拉斯学派留下的记数方法。这让他把破译密码的数学思维从逻辑学转向了数论，一门古希腊人十分迷恋，而今天仍非常热门的数学分支。恰好这个时候，20世纪最重要的数学成就：费尔马大定理的证明在牛津大学的竞争对手剑桥大学宣读了。
　　费尔马的不朽谜语
　　1637年的一天，法国南方小城图卢兹的地方法官费尔马正在阅读古希腊最后一个大数学家丢番图的著作《算术》的拉丁文版本，这不是一部系统的理论著作，而是（和中国古代数学著作一样）一些数学问题的汇编。费尔马有着业余数学家之王的美誉，他对书中的第8个问题入了迷，这个问题讨论的是毕达哥拉斯数组，这个问题又与所谓的毕达哥拉斯定理有关，此定理在古代中国被称为勾股定理，说的是，对任意一个直角三角形来说，它的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
　　毕达哥拉斯不仅予以严格的证明，并且从这个几何问题中提炼出有关整数的方程（后人称之为丢番图方程），即如何将一个平方数写成两个平方数之和，他探讨了满足这个方程的所有三元数组，其中最小的一组是（3、4、5）。费尔马经过反复计算和推敲，恍然大悟，在问题8所在的页面空白处，他用纤细的文字写下了下面这段话：
　　不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者，将一个4次幂写成两个4次幂之和。总之，不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的数之和。
　　在这个评注的后面，费尔马又草草地写下了一个附加的注中之注，对此命题我有一个非常美妙的证明，可惜此处的空白太小，写不下来。费尔马有所不知的是，以后的三百多年间，寻求这个命题的证明苦恼了一代又一代最有智慧的头脑，许多伟大的数学家都曾经全身心地投入并栽了跟头，以至于一位德国富商（他在一次失恋以后因为痴迷这个数学问题打消了自杀的念头）临终时立下遗嘱，用10万马克（约合现在的160万美元）奖励第一个证明它的人。
　　尽管如此，这笔奖金并没有阻止一位31岁的数学天才走向死亡，他便是对解决费尔马大定理作出重要贡献的日本数学家谷山，小说里也提到了他的自杀。1986年，美国数学家里贝特证明，由所谓的谷山志村猜想可以直接导出费尔马大定理，此时离谷山自杀已经有28个年头了。谷山的遗嘱表明，他对自己的生活失去了信心，他至死都不知道自己工作的伟大意义。值得一提的是，他受教育的年代正遇到残酷的战争，自杀原因与个人感情无关，谷山死后两个月，深爱他的未婚妻也结束了生命。
　　言归正传，就在小说主人公来到牛津的那年夏天，一位叫安德鲁怀尔斯的沉默寡言的英国人，经过七年的不懈努力，攻克了谷山志村猜想，澄清了那段历史疑案，并领走了那份比诺贝尔奖更为诱人的奖金。这里我想插一句，怀尔斯是个幸运儿，假如完成这两个猜想证明的时间互换一下，即先证明谷山志村猜想，再证明此猜想和费尔马大定理之间的递推关系，那么，这份至高无上的荣誉就落在美国人里贝特头上了。
　　青年维特根斯坦和他的哥哥保罗维特根斯坦（右）。后者在一战中失去右臂，但仍坚持在音乐会中使用左手单手演奏。（资料图图）
　　广征博引的小说
　　在小说里，怀尔斯正好是布朗森教授从前的弟子，他也是塞尔登的亲密朋友。原来，怀尔斯本科就读于牛津，却在剑桥获得博士学位。当怀尔斯从大西洋彼岸的普林斯顿返回剑桥宣布他的工作，牛津大学派出一辆校车把数学家们送往剑桥倾听。可就在怀尔斯的报告结束几个小时以后，牛津却发生了一起车祸，一辆校车冲出护栏坠入桥下，惟一的幸存者司机也在送往医院的途中死去。小说的主人公适时破译出了第四张密码纸条上的数字，它代表着死亡的人数，可是，他却无法阻止车祸的发生
　　当然，这部广征博引的小说并不局限于数学和数学家的神奇故事，英国同胞里面，出现的人物就有诗人TS艾略特、小说家弗吉尼亚伍尔芙、散文家德昆西。让笔者不得不提到的还有，19世纪的传奇人物刘易斯卡洛尔，他是数学家、逻辑学家、摄影家和小说家（身份和本书的作者十分相似）。卡洛尔18岁进入牛津大学，因为数学成绩优异，毕业后留校做了一名数学讲师，直到退休。虽然卡洛尔写了不少数学论著，但都不甚重要，只有《欧几里得和他的近代对手》一书还有一些历史价值。
　　在牛津任教期间，卡洛尔对院长的三个女孩非常钟爱，常给她们讲故事，后来他把这些故事写出来献给了院长的长女爱丽丝，被一位作家发现后得到了鼓励。于是，一部日后享誉世界的小说《爱丽丝漫游奇境记》问世了，它被批评家们认为是适合儿童纯真情趣的逻辑和数学心智的完美创造物。小说中的人物如蛋形人，术语如非生日礼物、非婚礼聚会等等已成为英国社会和英语里的常用语，也出现在《牛津迷案》这部书里，以此增加了本书的人情味，并为凶手的作案动机打下了埋伏。
　　凡是我们不能言说的，对之必须保持缄默。这是维特根斯坦最为人赏识的一句话，虽然这部小说中没有提到，但却为我们的主人公身体力行地遵循。而对于这篇信笔写下的导言来说，也该是结束的时候了。借此机会，祝愿各位读者能与这部小说一起，度过一个愉快的夜晚（笔者以为悬疑小说适合夜晚，尤其是冬日夜晚阅读），并顺手牵羊，对当代数学和逻辑学的最新进展和人类抽象思维的探究者有所了解。
　　蔡天新