拉着地球太阳一起转杂谈拉格朗日点

　　想必各位不久前都被一条新闻刷屏了：詹姆斯·韦伯空间望远镜成功于2021年12月25日发射升空，并于2022年1月24日，成功抵达最终目的地距离地球约150万千米的日地系统拉格朗日L2点。
　　詹姆斯·韦伯望远镜的想象图
　　这是一条很让人有期待感的新闻，相信这个望远镜未来可以给我们发送一些前所未见的宇宙照片。这条新闻里还有一个有意思的名词，＂拉格朗日点＂。这篇文章，我就聊聊什么是＂拉格朗日点＂。
　　＂拉格朗日点＂就是＂三体问题＂中的一些特殊解。＂三体问题＂就是关于三个质点，仅考虑万有引力的作用下，其运动轨迹的问题。但数学家发现，对一般情况下的三体问题，质点的运动轨迹太复杂了，呈现＂混沌＂的状态。但是在某些特别的条件下，三体问题是可以有非常简洁的解，也就是三个质点呈现简单的周期性的运动轨迹。
　　＂拉格朗日点＂就是三体问题中最简单的5个周期解。它们的共同特点是，三个质点的相对位置是静止的，也就是从一个质点看另两个质点，感觉上像是静止的。
　　但首先要说明一点，＂拉格朗日点＂这个概念，本身有两个层次上的含义。一个是纯数学上的拉格朗日点，那就是三个质点在万有引力作用下的周期运动。而另一个层次上的含义，是航天工程上的＂拉格朗日点＂，这是本文中，主要聊的拉格朗日点，而且是＂地日系统＂下的拉格朗日点，也就是三个质点中的两个，分别是地球和太阳。
　　如你所料，对于航天工程意义上的拉格朗日点，因为一些实际上的已知条件，我们可以对纯数学上的拉格朗日点计算进行一定的简化。
　　第一个简化是：我们认为太阳是不动的，只是地球有公转。在标准的两个质点的二体问题中，如果两个质点不是互相靠近或远离，那么两个质点其实是围绕它们的共同质心，进行椭圆轨道运动。
　　二体运动中，两个等质量质点，围绕它们的共同质心，按椭圆轨道运动。图片来源：维基百科
　　而太阳的质量相比地球非常大，是地球质量的33万倍 。地球距离太阳又不是那么远，所以可以近似认为太阳和地球共同质心仍然是太阳。
　　而实际计算的结果是，太阳和地球的合质心，距离太阳中心约453公里，而太阳的半径达到70万公里。所以说，地球和太阳合质心是非常接近于太阳中心。但后面我们会看到，在计算第四、第五拉格朗日点时，其实不能忽略这个453公里的差距。但一般情况下，这是一个非常好的近似。
　　第二个简化是：地球轨道是圆形的。地球的公转轨迹实际上是一个椭圆。但这也是一个不错的近似，因为地球近日点和远日点的互相之间只差约3%，还是非常小的。
　　第三个简化是：我们假设进入地日拉格朗日点的质点质量，相对于太阳和地球是非常小的。也就是说，这个质点的加入，不会影响太阳和地球的运动轨迹。这点非常重要，我们不能让这个质点质量达到足够影响太阳和地球的运行。如果这样的话，事情就马上乱套了，地球人变＂三体人＂了对吧。但还好，以目前人类能够发射的航天器，它的质量相对于地球都是忽略不计的，所以根本不需要担心，人类发射的航天器能影响地球轨道，更不用说太阳了。
　　基于以上三点简化，我们可以一起来找找拉格朗日点，在这些点上，如果有航天器，它可以只靠引力，获得相对于太阳和地球的静止效果。我们一起来找找看。
　　那么第一个你能想到的位置，应该是在地球和太阳的连线上。至少你应该能想到，在地球和太阳的连线上，存在这样一个位置，地球和太阳的引力互相抵消了，两个引力的合力恰好是0。具体这个位置在哪里应该非常好算。
　　但是这个位置并不是我们要找的拉格朗日点，因为地球还在公转。也许是某个时刻，你到了那个位置，你感受到地球和太阳的合引力恰好是0。但下一时刻，地球公转哪怕偏离了一丁点位置，那么那个点的合引力就不再是0，那你马上就有加速度，就会飘离到不知哪里去了。
　　计算地日连线上，合引力为0的位置。设这个位置距离地球是x，太阳质量是 ，地球质量是 ，额外质点质量是m, 地日距离是d, 则根据万有引力公式，可以列出方程：
　　但是沿着这个思路，马上告诉我们，如果还是在地球太阳连线上，找一个比合引力为0的位置更靠近太阳的位置，此时太阳和地球的合引力应该还是太阳这边占上风。而这个引力，如果恰好可以使航天器进行匀速圆周运动，且公转周期也是一年，与地球同步，那么这个航天器就可以恰好处于与太阳和地球相对静止了。
　　我相信听到这里，你应该也能根据以上信息，列出一个求解这个位置的方程。这个方程中，我们的已知量是太阳质量、地球质量、地球到太阳的距离，地球的公转周期，也就是一年，还有航天器的质量，这些是已知量。未知量是这个点到太阳的距离。你根据万有引力公式和圆周运动公式，很快就能列出一个方程。
　　计算第一拉格朗日点。我们的目标是找到一个位置，使得太阳对航天器的合引力，减去地球对航天器的引力，恰好可以使航天器围绕太阳公转的周期为一年。下图中， 是太阳质量， 是地球质量，O点是地日合质心， 是所求的第一拉格朗日点。
　　根据以上条件，可以列出这样一个方程：
　　如果视同O点在太阳中心，则 ，且 为地日距离减去r，结合这些条件代入上述方程，你会发现，这个方程本质上是一个关于r的一元五次方程。
　　但你会发现，这个方程本质上是一个一元五次方程，求解还是相当复杂的。但如果我们考虑到地球质量远小于太阳质量，那么这个方程可以进行简化求解。这种条件下，可以解得：
　　对地日系统来说，这个位置在地球太阳连线上，距离地球150万公里的位置，这个数字是月球到地球距离的4倍。这个点，就被称为第一拉格朗日点，简称L1点。
　　如果发射一个航天器，以合适的初速度达到这个点，那么这个航天器就可以保持与地球相同的角速度与太阳公转，从而一直保持在地球和太阳连线的这个位置上。 这种情况下，你从航天器看地球的话，永远看到的是地球被太阳照亮的那个半球。所以，这个位置在航天工程上有一些好的性质。从这个点观察地球的话，总是看到白天的半球。而观察太阳则效果更好，因为太阳的位置相对静止，而且永远不用担心太阳被地球或者月球挡住。
　　比如2021年，中国的嫦娥五号的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料，所以安排拓展任务，飞进到日-地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务。
　　再有之前的1995年，由欧洲航天局和NASA共同发射的太阳探测器SOHO（Solar and Heliospheric Observatory），就曾经长时间在L1点附近执行太阳观测任务。以上是关于第一拉格朗日点。
　　太阳探测器SOHO轨道示意图，它长时间运行在L1点
　　知道了第一拉格朗日点，求解第二、第三拉格朗日点就不难了。可以想到，如果在地球和太阳连线的延长线，靠地球这一侧上某个位置，应该可以有一个位置，使得地球和太阳对该位置的引力之和，恰好使飞行器达到与地球同步的角速度，那么这个位置就是第二拉格朗日点，简称L2点。
　　而在地球和太阳连线的延长线，靠太阳的这一侧，同样会有一个位置，使得地球和太阳对该位置的引力之和，达到与地球同步角速度，那么这个位置，就叫第三拉格朗日点，简称L3点。
　　5个拉格朗日点的位置示意图，图片来自New Scientist
　　实际计算结果是，L2点距离地球其实是与L1点与地球的距离是接近的，同样是约150万公理，四倍的地月距离。从L2点看地球，永远是看到黑夜的那一面。从L2看太阳的话，理论上总有部分太阳被地球挡住了，像是日偏食。基于以上特性，这个位置非常适合太空望远镜。一个是位置容易校准，你只要保持这个航天器时刻是在地球上午夜0点位置的天顶之上即可。地球也挡住了部分太阳，所以减少了太阳辐射的干扰，也容易保持温度稳定。
　　到达到过L2点的航天器就更多了，除了之前提到过的詹姆斯·韦伯望远镜，还有2011年的嫦娥二号，也曾从月球轨道直接地道地日L2点，对太阳实施探测，同时进行测控技术等试验。
　　还有一个有意思的例子，是2018年发射的鹊桥号月球专用通信中继卫星，它是配合嫦娥四号对月球背面的探月工程而发射的，这颗卫星至今仍然运行在地月系统的L2点。
　　鹊桥号通信卫星的位置示意图，它运行在地月系统的第二拉格朗日点，可供关于月球背面探测任务的中继通信使用
　　我们知道，月球总是以一个面面对地球的。那么如果一个探测器要在月球背面着陆，怎么从地球上与这个探测器通信就成了一个问题，就需要有一个通信中继点。而地球与月球系统的L2点，就位于地球与月球连线的延长线上，靠月球的另一侧，并且能时刻看到月球的背面。而且月球体积不那么大，所以在这个位置上，总还能看到部分地球。所以这个L2点，就是一个连接地球和月球背面的绝佳中继通信位置。目前鹊桥卫星还在这个L2点上运行，还能为将来的月球背面的探测任务服务。这是关于第二拉格朗日点。
　　关于第三拉格朗日点，它位于地球太阳连线，靠太阳的那一侧，它距离太阳会比地球距离太阳要稍微远一点，因为我们考虑的是，地球和太阳对它的合引力要使得它获得与地球同样的角速度，不能忽略地球的引力。但这个点，对航天工程来说没什么用了，因为这个位置上，永远看不到地球，无法直接通信联系，太阳也没什么暗面需要特别的探测。
　　但这个位置对科幻小说太有用了，有些科幻小说称那个位置有一个影子地球，或者外星人舰队潜伏在那里。还好人类已经发射过环绕太阳的探测器，观察过那个L3点，排除了那个位置有影子地球和外星人潜伏的可能。
　　鹊桥号通信卫星的位置示意图，它运行在地月系统的第二拉格朗日点，可供关于月球背面探测任务的中继通信使用
　　那么以上就是关于L1到L3拉格朗日点，它们的存在性其实最早是由欧拉计算和确定的。那么为什么称其为拉格朗日点呢？因为1772年，法国数学家拉格朗日点又发现了另外2个可以达到三体相对静止运行位置，这两个位置计算上更有难度，而且有一个更好的特性，所以这5个点，现在统称为拉格朗日点。
　　那么这两个位置在哪里呢？之前我们在考虑L1点的时候，排了一个一元五次方程，这实际上提示了可能会有5个拉格朗日点。但是之前因为我们把解的位置，限定在地球太阳的连线上，那么只有三个实数解了。
　　如果要找其他解，我们就必须把问题放在二维平面上考虑。实际上，这个最后的两个拉格朗日点位于地球和太阳连线的垂直平分线和地球轨道的交点上。也就是整个点与地球和太阳之间恰好构成一个正三角形。来分析下，为什么这两个位置也行？你可以在纸上画一个正三角形，一个点标注为太阳，一个点标注为地球。然后考虑一下太阳和地球对另外一个顶点的引力合力。因为太阳质量远大于地球质量，所以你知道，这个合力的方向大致还是指向太阳的，只是稍稍偏向地球这边。
　　而前面说了，地球和太阳的合质心，其实并不是太阳中心，而是稍微偏向地球这一边的。那么如果之前那个合力恰好指向地球和太阳的合质心，并且能使整个质点获得与地球同样的角速度，那么这位置就是另一个拉格朗日点。具体计算我也不说了，但拉格朗日证明了这个位置就应该是处于能与地球、太阳构成正是正三角形的位置上，从而增加了两个拉格朗日点，称为第四和第五拉格朗日点，简称L4和L5点。
　　第4、5拉格朗日点求解介绍：
　　上图中，S是太阳位置，E是地球位置，X是飞行器位置，OX是地日对X合引力的方向。当S质量远大于E的质量时， 很小。此时，在三角形OSX中，用正弦定理：
　　，所以：  。 其中 ，且 等于地球与太阳的质量之比，是一个非常小的数字，记作s。综合以上，我们得到：
　　分别考虑太阳和地球对飞行器在轨道位置上，引力在轨道切线方向的分力。
　　太阳把飞行器向前＂拉＂的力是：
　　地球把飞行器向后＂拽＂的力是（三角形OXE是等腰三角形）：
　　因为 ， ，可以发现，当 为60°时，这两个力平衡了！
　　这两个拉格朗日点还有一个非常有意思的特点，当两个大质点的质量之比大于25的时候，这两个点是稳定平衡点。＂稳定平衡＂的意思是，当稍微偏离平衡位置时，系统会自动恢复到平衡位置，如同不倒翁一样。而太阳与地球质量比远大于25，所以地日系统的L4、L5点是稳定平衡点。
　　地日系统下的引力势能图。L1、L2、L3是＂鞍点＂， 而L4和L5是局部最大值点，所以L4和L5是稳定平衡位置
　　也就是当你以比较低的速度达到L4和L5附近时，你可以躺平，啥都不做，等待地球和太阳的引力把你拉到拉格朗日点，这是不是一个非常好的特性？
　　而L1到L3点都不是稳定平衡点，也就是如果偏离平衡位置一些，如果不主动纠正的话，就会远离这些位置。所以之前说过的，达到过L1和L2点的航天器，它们并不能完全没有动力。实际上，它们会环绕拉格朗日点运行，经常纠正自己的位置。
　　那么L4和L5点在航天工程上有什么用呢？目前看没太大啥用，尽管有些航天器已经路过这两个位置，但还没有航天器稳定停留在这两个位置。
　　但科幻小说里，已经把这两个位置设定为未来星际殖民飞船的绝佳运行位置。首先这两个位置是稳定平衡点，这意味着，飞船一旦达到这个位置，就不需要再输出动力，从而以极低的成本保持与地球和太阳的相对静止。并且这个位置可以时刻看到地球，通信没有问题。
　　而且公转周期也是一年，如果再能产生24小时的自转周期，那么飞船上的人就可以感受到与地球同样的一天和一年的感觉。总之，这两个个位置是星际殖民飞船的绝佳停靠点。
　　但稳定平衡的副作用是，有很多天然的物质，容易靠近和积聚在这两个位置。现在已经观测到，在地日的L4和L5点附近，有一些星际尘埃和至少两颗小行星。那么殖民飞船要到那个位置，就需要考虑如果避免和星际尘埃和小行星的碰撞问题。而太阳和木星系统的L4和L5点上，则有上百万的这样的小行星。
　　太阳与木星的L4、L5点上，已经积聚了大量的小行星
　　总之，目前L4和L5点没有太多实用价值，但在未来的实用性上，确实让人浮想联翩。
　　那么关于5个拉格朗日点的介绍都完成了，它们的共同特性都是三个质点都达成相对平衡和稳定。而大自然能提供这个5个点，也是给我们的航天工程提供了很多便利。总之，它们都是让你可以拉着地球和太阳一起转的五个点！
　　参考文献：
　　http://www.jolinton.co.uk/Books_and_Articles/Lagrangian_Points/Text.pdf
　　https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point
　　https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E7%82%B9