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广义相对论的验证,计算太阳的引力红移

  爱因斯坦广义相对论发表的时候,他表示万有引力是时空弯曲的表现,这是可以用实验检验的。他举了三个实验:引力红移、光线偏折、水星近日点进动,其中最容易的就是引力红移,大家最容易看懂,也最先学会就算。
  爱因斯坦表示,根据广义相对论,在引力场强或者引力势低的地方,钟会走得较慢。例如,太阳表面的引力场就比我们这里的引力场强得多,所以太阳上的钟就比地球上的钟走得慢。但是,我们也没法在太阳表面放置一个钟,那么怎么进行检验呢?
  爱因斯坦说,太阳表面其实有一个钟,那就是光钟。不同元素发出的光其实都是以不同的频率振荡的钟,由于太阳上的时间变慢了,所以光的频率就会变低。因此,同一根光谱线,在地球实验室拍的和在地球拍太阳的会不一样,后者会产生红移。
  如图所示,在太阳表面和地球表面分别有静止的光源和静止的观察者。光源在坐标时刻t1发出一个光子,观察者在坐标时刻t2接收到这个光子。光源在坐标时刻t1又发出一个光子,观察者在坐标时刻t2接收到这个光子。在稳态时空中,我们可以得到以下关系:
  上面这个等式表示的是两个光子接收和发射时间差相等,我们可以做以下变换,把它变成发射两个光子的时间差和接收两个光子的时间差相等。
  应该注意的是,上面的时间是坐标时,而我们真实经历的时间是固有时。固有时和坐标时之间有以下关系:
  在这里,我们使用施瓦西度规代入上式:
  因此,我们就可以利用坐标时与固有时之间关系,来求得两地之间固有时的关系,其中r1是太阳半径,r2是地球到太阳的距离:
  接下来,我们把光子的频率想象成一种节拍器,用振动的次数除以时间就是频率,等式如下所示:
  由于两地得到的振动次数是一样的N1N2,所以我们可以得到频率的关系:
  这里我们可以做一个近似处理,与太阳施瓦西半径相比,r2可以当成无穷大。然后我们还把恒星表面处的固有频率v1写成v0,太阳半径r1写成R,于是就得到:
  引力红移是广义相对论所预测的一种效应,已被天文观测所证实。一般情况下,我们会使用红移的相对值来定义:
  可以对上式进行泰勒展开,并保留一级近似:
  我们把有关太阳的参数带进去,可以得到相对红移的理论值为2。12x106。

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