机器学习基础知识学习微积分之微分泰勒多项式导数详解（一）

　　终于把机器学习要复习的线性代数的几个知识点学习完了，现在开始学习微分、积分、导数、泰勒展开公式、梯度、概率论等。学习过程中会发现微分、积分、导数、泰勒展开公式联系非常紧密。
　　这次学习微积分找到了单维彰教授的视频，单从技术领域来说，单维彰教授的微积分讲的还是挺好的。
　　现在开始学习微积分函数VS微分
　　函数xx（t），设x为位置（km）、t为时间（hr）。如果位置和时间变化很大的话，很容易得出结果；如果位置和时间变化非常非常小，无法用常规方法识别，这种情况下该怎么办呢？
　　对于瞬间变化引入了微分的概念：
　　x（速度）
　　一滴代表瞬间的变化，这里将d作为变量，那么就将瞬间的变化叫做一滴滴的变化。一滴滴x的变化除以一滴滴t的变化，就求出了单位要求下的瞬间变化，求瞬间变化率也就是x的结果的这个过程，就是微分的求解方式。
　　求（平均速度），分析下，若ta，则分母不能为0，这个式子不成立。微分上对定义表达式为
　　面积VS积分
　　已知有yf（x），x〔a，b〕；求x轴上f（x）垂直下来线段的面积，一个直线的面积按照常理推论不好求，但是将直线无限放大，它也是有宽、高的。设宽有一滴滴x长，即dx。则垂直线段一滴滴面积为dxf（x）。求解垂直线段面积这种形式的解题过程就是（定）积分的表现。
　　积分符号由summation演变而来：SummationS
　　表示一滴滴的x面积
　　这里延伸一下：表示离线的一大堆东西加在一起；表示连续的一大堆东西加在一起多项式函数的局部圆形像直线
　　附近的函数图形以点（a，f（a））为中心的小正方形内所画的函数图形就叫做f（x）在xa的局部图形
　　f（x）在xa的局部图形
　　放大上图中f（x）x中，以（1，1）为中心，边长为1的正方形，正方形中的线段有点直。如果再以（1，1）为中心，边长为0。1画正方形。放大该正方形，则线段几乎就像一条直线。
　　数学家们经过多次论证，证明：多项式函数的局部图形像一条直线泰勒多项式
　　由除法原理FPQ。。。r得FPQr。或许对这个公式不是很理解，下面举一个例子，证明一下。比如，1735。。。2等价于17352这个公式在处理复杂计算题时会频繁用到，等后面用到FPQ。。。r得FPQr时会有豁然开朗的感觉。
　　下面看一个3次方得除法化简，已知（x1）（x1）
　　通过下图中得综合除法得（x1）（x1）2x3（商）。。。4（余）
　　综合除法
　　由FPQ。。。r推出FPQr推出：
　　（x1）（x1）2x3。。。4
　　（x1）（2x3）（x1）4
　　继续优化（2x3）（x1）得
　　（2x3）（x1）（x3）。。。6
　　（2x3）（x3）（x1）6
　　（x2x3）（x1）综合除法求解
　　继续对（x3）（x1）进行优化得
　　（x3）（x1）1。。。4
　　（x3）（x1）4
　　（x3）（x1）综合除法求解
　　由以上例题推论可得出
　　x1
　　（2x3）（x1）4
　　（（x3）（x1）6）（x1）4
　　（x3）（x1）6（x1）4
　　（（x1）4）（x1）6（x1）4
　　4（x1）6（x1）4
　　由上得出x1为4（x1）6（x1）4降幂排列得式子
　　常数项为第一次运算得余数，一次项系数为第二次运算得余数，二次项系数为最后一次运算得余数，三次项系数为最后一次运算得出的系数
　　将得出的式子按升序排列，x146（x1）4（x1），升序排列的式子和上图做比照是不是更清晰了呢？
　　由此可得出：x1是以1为参考点的泰勒（Taylor）多项式，泰勒形式是46（x1）4（x1）
　　经过一系列推算求导引出了泰勒多项式，为了加深印象，再看一个例题：
　　xx1是以1为参考点的泰勒多项式17（x1）7（x1）
　　先分析一下上面的式子：xx1是以1为参考点的泰勒多项式先理解为（xx1）（x1），还是利用综合除法进行求解
　　由上图综合除法可知：xx1以1为参考点的泰勒多项式等于
　　17（x1）7（x1）
　　做完这个例子，是不是感觉泰勒多项式很有意思呢！
　　前面两个例子可以看出，泰勒多项式第一次算法的余数就是函数值，下图可以更直观的展现
　　泰勒形式的一次系数
　　已知f（x）x1，求f（0。98）的百分位估计值
　　对该题进行分析：
　　f（x）
　　由上面的式子可知，求f（0。98）的百分位估计值，只求到f（x）即可，后面的式子可省略。
　　f（x）x1
　　（x1）（x1）
　　求f（0。98）的百分位估计值，可以令x1，求出f（1）4
　　现在已经知道f（0。98）（x1）4（0。981）
　　40。02
　　接下来求一次项的系数
　　f（x）。。。
　　当xa时f（x）f（a）且f（0。98）的百位估计值可求到一次项
　　则f（x）f（a）
　　f（x）f（a）等价于f（x）（xa）f（a）
　　（注：根据FPQ。。。r得FPQr得出上式）
　　Q（xa）R（商）。。。（余数）
　　QR（xa）
　　f（x）（xa）f（a）
　　（R（xa））（xa）f（a）
　　R（xa）（xa）f（a）
　　f（a）（xa）R（xa）
　　求解百分位，所以二次方以后得数可以省略
　　f（x）f（a）（xa）关键在这，是以a为参考点得商式
　　由f（x）x1（x2x3）（x1）4得
　　就等于（x2x3）
　　前面说到f（0。98）（x1）4（0。981）40。02
　　当x取1时，x2x36（这种求法是不是和综合除法求出得一次项系数值一样呢，对，是一样的）
　　则f（0。98）3。88
　　通过计算机算出得f（0。98）得真实值为3。881592，近似值是不是和真实值很接近呢
　　本次是求解百位数得近似值，泰勒多项式一次项后边的式子可以省略。实际需求中若求百万位，那后面得式子都要算，根据项目估算式子求到哪一步泰勒一次项系数即导数
　　f（x）得以a为参考点得泰勒表达式为
　　则称是f以a为参考点得泰勒形式之一次项系数
　　是由f和a决定得一个数，给它一个符号：
　　是由f和a导出来得一个数，称为f在a的导数多项式函数的切线与导数
　　多项式函数f（x）以a为参考点的泰勒多项式f（a）m（xa）。。。在a的切线方程式为ym（xa）f（a）
　　f在a的切线斜率称为f在a的导数，记作
　　f（x）在a的切线方程式为y（xa）f（a）
　　f（x）3x2x1以0为参考点的泰勒多项式为12x3x
　　在x0的切线方程式为y2x1
　　f在0的导数：2
　　如下图，x0时，f（a）1，切线与曲线相交部分近乎直线
　　f（x）以1为参考点的泰勒多项式为1（x1）。。。
　　在x1的切线方程式为y1（x1）2x
　　则
　　f（x）以2为参考点的泰勒多项式12（x2）。。。在x2的切线方程式y12（x2）2x3
　　则2
　　导数基本公式
　　当f（x）（该式子为单项函数，且n2），做q（x）是f（x）（xa）的商，求
　　（xa）（）。。。
　　f（x）综合除法求解
　　（）（xa）
　　（xa）。。。。。。
　　在泰勒形式的一次系数中推到过等于对第一次除（xa）的得到的商进行第二次除（xa）得到的余数，这个余数也等于当xa时的第一次除（xa）的得到的商
　　高中时学过一个公式：
　　当xa时，第一次除（xa）的得到的商：
　　（）
　　（）
　　推出基本公式：当f（x）时，
　　看几个例子：
　　当f（x）x时，24
　　当f（x）时，33
　　当f（x）时，4（）
　　做了上面三个例题是不是感觉有点别扭，当x得到具体值需要换算成a还要看n是多少？有没有简单便捷的推导式呢？继续往下看
　　代入xa
　　令则就是代入xa时的数值，新的导出来的的函数称做f的一阶导函数
　　基本公式（导函数形式）
　　当f（x）时，
　　故
　　（1）若f（x）x，f（x）2，f（2）224
　　（2）若f（x），f（x）33x，f（1）3
　　（3）若f（x），f（x）44，f（）微分的系数积法则
　　看第一个性质：〔cf（x）〕cf（x）
　　f（x）（xa）q（x）。。。f（a）f（x）f（a）q（x）（xa）
　　（cf（x））（cf（a））cq（x）（xa）则（cf（x））（xa）cq（x）。。。cf（a）
　　所以cf（x）cq（x）（xa）cf（a）
　　注：c0
　　一阶导数的值是对商进行处理，代入常数a求值
　　f（a）q（a）
　　（cf（x））cq（a）cf（a）
　　例当f（x）3x
　　f（x）（3x）
　　3（x）
　　3（2x）
　　6x
　　当f（x）
　　f（x）（1）
　　1（）
　　1（4）
　　f（）1（4）微分的加法性质
　　1的导数是0
　　有两种方法可证明1的导数为0
　　1
　　等式左边只有常数项，没有一次项，二次项。。。n次项
　　1，
　　〔1〕0
　　f（x）1
　　f（x）n00
　　微分的性质2〔f（x）g（x）〕f（x）g（x）
　　当f（x）x1
　　f（x）〔x1〕
　　（x）〔1〕
　　2x0
　　2x
　　当f（x）x2x1
　　f（x）（x2x1）
　　（）（x）（2x）〔1〕
　　3x2x2（x）0
　　3x2x210
　　3x2x2
　　看了两个例子，推导一下性质2
　　若f（x）（xa）q（x）。。。f（a）
　　则f（x）f（a）q（x）（xa）
　　若g（x）（xa）p（x）。。。g（a）
　　则g（x）g（a）p（x）（xa）
　　（f（x）g（x））（f（a）g（a））（q（x）p（x））（xa）
　　则（f（x）g（x））（xa）（q（x）p（x））。。。（f（a）g（a））
　　商为q（x）p（x），（f（x）g（x））q（x）p（x）
　　q（x）、p（x）是f（x）g（x）的商
　　所以（f（x）g（x））f（x）g（x）
　　导数的极限记号
　　微分是求导数的过程，是一个动词、程序
　　（1）除法程序
　　设f（x）是一个多项式函数，则f（x）（xa）q（x）。。。f（a）；f（a）q（a）
　　再温习下一个公式，2个性质：
　　一个公式：〔〕n
　　两个性质：〔cf（x）〕cf（x）〔f（x）g（x）〕f（x）g（x）
　　例f（x）2x1
　　f（x）3x2
　　则f（2）3（2）214
　　做导函数比做多项式除法简单很多
　　（2）极限记号
　　f（x）f（a）g（x）（xa）
　　当xa时，同除以xa
　　g（x）
　　欲代入xa，用f（a）切线与一次估计
　　（一阶）导数的应用
　　（1）求yf（x）的曲线在xa处的切线方程式f（x）。。。
　　切线方程式yf（a）（xa）f（a）
　　例f（x）xx1
　　f（x）3x2x1
　　当x1时，f（1）4f（x）6
　　yf（1）（x1）f（1）
　　6（x1）4
　　则f（x）6（x1）4
　　当x0。97时，f（0。97）6（0。03）43。82
　　真值是3。823573
　　（2）一次估计
　　f（x），求f（0。97），精确到百分位
　　f（x）f（a）（xa）f（a）是f在a的一次估算
　　用f在1的一次估算后求解f（0。97）扩张的基本公式
　　先熟悉一个微分乘法公式：〔fg〕fgfg，这个公式在后面扩张的基本公式证明时会用到
　　现在说该部分的重点内容：扩张的基本公式
　　由得扩张公式
　　例：
　　扩张公式是不是很简单呢？它不止简单也很实用，下面证明扩张公式
　　证明用到了数学归纳法：
　　当n0为非正整数时
　　当n0时检查成立
　　当n1时
　　01
　　1
　　当n1时检查成立
　　假设当nk1时成立，则考虑nk的情况
　　注：上式用到微分乘法公式〔fg〕fgfg
　　1
　　注：上式中假定nk1成立，得出
　　1
　　（1k1）
　　k
　　公式对所有正正数都成立
　　经过证明推导，得扩张公式，也可以理解为为平移的单项函数高阶导数与泰勒系数
　　一阶导数记做，二阶导数记做，三阶导数就是记做，那么四阶导数、五阶导数、六阶导数等等怎么表示呢？四阶导数：，五阶导数：，六阶导数：。。。。。。
　　例：
　　已知：f（x）〔6x2〕606
　　则：〔f（x）〕〔6〕0
　　高阶导数的一般公式为
　　下面证明
　　f（x）
　　代入xa，发现f（a）
　　左右微分f（x）
　　代入xa，发现f（a）
　　再对f（x）左右微分f（x）
　　代入xa，发现f（a）2，f（a）
　　再对f（x）左右微分f（x）
　　代入xa，发现f（a）6，f（a）
　　。。。。。。
　　概括：（a）；；。。。。。。
　　即
　　例：f（x）xx1求f（0。97）
　　估算
　　f（x）的泰勒多项式为46（x1）4（x1）
　　注：泰勒多项式综合除法求得
　　f（0。97）46（x1）3。82
　　确算
　　f（x）以1为参考点的泰勒多项式为
　　当x1时，f（1）4
　　怎么求呢？这次运用求解
　　f（x）xx1
　　左右微分f（x）3x2x1
　　f（x）
　　左右微分f（x）6x2
　　f（x）
　　左右微分f（x）6
　　61
　　当x1时，6，4
　　所以f（x）46（x1）4（x1）
　　f（0。97）46（0。971）4（0。971）
　　40。180。00360。000027
　　3。823573
　　好了，本篇先到这了，下一篇继续学习交流微积分
　　头条创作挑战赛