我们知道，一元二次方程的判别式决定了方程解的个数：判别式大于零，有两个解；等于零，一个解；小于零，无解。其图像表示为抛物线与X轴有两个交点、一个交点、没有交点。有解的情况大家研究得很透彻。而我们关注零域，就重点研究无解的情形。
　　从
　　解的情况来看，一个解时只有一个交点，判别式为零。交点为(-b/2a，0)。当判别式大于0时，交点有两个，分别为(-b/2a-√/2a，0)和(-b/2a+√/2a，0)。可以看出，这两个交点是那一个点-b/2a分别向两边移动√/2a距离后形成的。那反过来，判别式由大变小为零，就是两个交点相向移动√/2a距离直到为零变成一个交点。再继续运动，就是没有交点，解的个数为零的情况。
　　一般来说，两点相向运动，相会后，继续运动地话就会分开，相对远离。但判别式小于零后，那相对远离的两点却已消失。根据运动趋势，我们相信这两点应该继续这相对远离的运动，这运动轨迹在这里消失了，就应该是转移到另一个地方去了。那地方就是零域。
　　从零域看来，解的个数为零时，因判别式小于零，产生虚数，由此解的数值由实数变为复数，解的个数也由一个变成复数解两个。函数图像也由实数域转为复数域。或者，一开始就从复数轴上绘制函数图像能看得更清楚。
　　代表解的个数的两点，在x轴上相向运动相交后，转移到虚数i轴上，在X=-b/2a这条线上，沿虚数轴以√丨丨/2a的距离远离。也就是说这两点，在沿x轴相向运动相交后，又沿虚数i轴相互远离。注意到，这里有从x轴到i轴的运动方向改变。这个方向改变相当于垂直陡转，发生在交点处。这个转向力，可以认为是交点提供，也是零域之力。
　　我们这里说的零域，可以说是y=0这个零值下由x轴和虚数i轴构成的复平面，整个零域的一小部分。在这里，有两点沿着x=-b/2a这线沿i轴方向移动。我们完全可以认为这是一条抛物线与i轴的交点。这个抛物线顶点，也是原来那条抛物线的顶点。也就是说，此抛物线是原抛物线脱离x轴后，没有交点无解情形下在零域投射出的投影。两抛物线形状相同，可以认为新抛物线是原抛物线的一种解析延拓。
　　我们可以用这样解析延拓的方法，来了解零域。

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