为节约能量,寻找最短的路径是人生的追求,在生活中,我不断地研究和发现最短的路线,并把结果总结成方法和原理。由此可见,数学是为我们更好生活而存在的。 最短路径问题,如将军饮马,为中考重难点题型,在中考中出现的频率比较高,和面积问题差不多。主要以几何题或函数综合题为主。 问题综述: 最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径算法形式包括: 一、确定起点的最短路径问题; 二、确定终点的最短路径问题; 三、确定起点、终点的最短路径问题; 四、全局最短路径问题。 问题原型 :"将军饮马","造桥选址","费马点" 涉及知识 :"两点之间线段最短","垂线段最短",涉及知识)"三角形三边关系","轴对称","平移"; 出题背景 :角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等; 解题思路 :通过运用轴对称、平移等图形变换的方式,在图中实现由"折"转"直",再利用"两点之间线段最短"、"垂线段最短"、"三角形三边关系"等知识,说明所得路径最短。 解题关键 :找对称点实现"折"转"直"。 经典考题: 1.(2020•恩施州中考题)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】连接ED交AC于一点F,连接BF,根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小,利用勾股定理求出DE即可得到答案. ∵四边形ABCD是正方形, ∴点B与点D关于AC对称, ∴BF=DF, ∴△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时△BEF的周长最小, ∵正方形ABCD的边长为4, ∴AD=AB=4,∠DAB=90°, ∵点E在AB上且BE=1, ∴AE=3, ∴利用勾股定理可求得DE=5, ∴△BFE的周长=5+1=6, 故选:B. 2.(2020•贵港中考题)如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为( ) A.√10 ﹣1 B.√2+1 C.√10 D.√5+1 【解析】作点E关于DC的对称点E",设AB的中点为点O,连接OE",交DC于点P,连接PE,由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径,可知线段PE+PM的最小值为OE"的值减去以AB为直径的圆的半径OM,根据正方形的性质及勾股定理计算即可. ∴线段PE+PM的最小值为:PE+PM=PE"+PM=ME"=OE"﹣OM=√10﹣1.故选:A. 3.(2020•潍坊中考题)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为( ) A.1/2 B.3/4 C.1 D.3/2 【解析】延长CO交⊙O于点E,连接EP,交AO于点P,则PC+PD的值最小,利用平行线分线段成比例分别求出CD,PO的长即可. ∵CD⊥OB,∴∠DCB=90°, 又∠AOB=90°,∴∠DCB=∠AOB, ∴CD∥AO∴BC/BO=CD/AO, ∵OC=2,OB=4,∴BC=2, ∴2/4=CD/3,解得,CD=3/2; ∵CD∥AO, ∴EO/EC=PO/DC=PO/DC,解得,PO=3/4.故选:B. 4.(2020•荆门中考题)在平面直角坐标系中,长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,A(0,2),B(0,4),连接AC,BD,则AC+BD的最小值为( ) 5.(2020•鞍山中考题)如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6),B(﹣2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移,当AD+BC的值最小时,点C的坐标为______. 【解析】把A(3,6)向左平移1得A′(2,6),作点B关于x轴的对称点B′,连接B′A′交x轴于C,在x轴上取点D(点C在点D左侧),使CD=1,连接AD,则AD+BC的值最小,求出直线B′A′的解析式为y=2x+2,解方程即可得到结论.故答案为:(﹣1,0). 6.(2020•永州中考题)∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且∠AOB=60°,在∠AOB内有一点P(4,3),M,N分别是OA,OB边上的动点,连接PM,PN,MN,则△PMN周长的最小值是______. 【解析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″,连接P′P″,与OA、OB分别交于M、N两点,此时△PMN周长最小,最小值为P′P″的长,连接OP′,OP″,OP,利用垂直平分线定理得到OP′=OP″=OP,由P坐标确定出OP的长,在三角形OP′P″中求出P′P″的长,即为三角形PMN周长的最小值. 则△PMN周长的最小值是5√3. 7.(2020•聊城中考题)如图,在直角坐标系中,点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点C的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小,这个最小周长的值为_______. 【解析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°,得到∠C=90°,求得AC=BC=2,作B关于y轴的对称点E,连接AE交y轴于D,则此时,四边形ACBD的周长最小,这个最小周长的值=AC+BC+AE,过E作EF⊥AC交CA的延长线于F,根据勾股定理即可得到结论. ∴最小周长的值=AC+BC+AE=4+2√5, 8.(2020·南京中考题)如图①,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短. (1)如图②,作出点A关于l的对称点A",线段A"B与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得路线ACB是最短的. 为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线1上另外任取一点C",连接AC"、BC",证明AC+CB<AC′+C"B.请完成这个证明. (2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由). ①生态保护区是正方形区域,位置如图③所示; ②生态保护区是圆形区域,位置如图④所示. 【分析】 题(1)就是将军饮马问题的证明过程,利用轴对称进行线段的转化,再利用两点之间线段最短(三角形三边关系亦可)即可得到结论。 题(2)①在原有的基础上面增加了难度,中间增加了正方形的生态保护区。 由于不能闯过该区域,所以就无法直接使用两点之间线段最短进行解决。 不过还是可以参考原来的思路。 也是先对称再连接A′B,根据观察,经过正方形拐点的时候最短,可以选取其它的点,如外面的点,进行证明即可。 这个图形在八年级三角形的课本中出现过,以证明AB+AC>PB+PC。 题(2)②在原有的基础上面又变成了一个圆形。 也是采用连接的方式,发现仍然不能直接连接,所以必须绕着圆弧,那么分别过点B与点A作圆的切线,得到的路径是最短的。 与上面的图形类似可以用相同的方法,取不一样的点进行验证。不过说理过程比较麻烦,而且图形只是给了一种情况,题目就不要求写理由了。 其实大家也可以由上面的问题,抽象出一个问题出来: AB,AC与弧BC切于点B,C。求证AB+AC>弧BC。 【答案】 证明:(1)如图②,连接A"C", ∵点A,点A"关于l对称,点C在l上, ∴CA=CA", ∴AC+BC=A"C+BC=A"B, 同理可得AC"+C"B=A"C"+BC", ∵A"B<A"C"+C"B, ∴AC+BC<AC"+C"B; (2)如图③, 在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB,(其中点D是正方形的顶点); 如图④, 在点C出建燃气站,铺设管道的最短路线是ACD+(DE) ̂+EB,(其中CD,BE都与圆相切)。 最新考题 1 .(2021•和平区一模)如图,在△AOB中,∠OAB=∠AOB=15°,OB=6,OC平分∠AOB,点P在射线OC上,点Q为边OA上一动点,则PA+PQ的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】作AH⊥OB于H.交OC于P,作PQ⊥OA于Q,可得PA+PQ=PA+PH=AH,根据垂线段最短,PA+PQ最小值为AH,故选:C. 2.(2021•河南四模)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点B的坐标为(4,4),顶点A在y轴上,直线x=2与AB交于点D,点E为OD的中点,点P为直线x=2上一动点,当△OPE的周长最小时,点P的坐标为( ) A.(2,4/3) B.(2,2) C.(2,1) D.(2,0) 【分析】连接EC,与直线x=2的交点即为P点,此时,△OPE的周长最小,最小值为OE+CE,根据待定系数法求得直线CE的解析式,即可求得P的坐标.故选:A. 3.(2021•港南区一模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,点E,F分别是BC,CD边上的动点,满足BE=CF.则AE+AF的最小值为( ) A.√5 B.2√2 C.2+2√2 D.2√5 【分析】连接DE,作点A关于BC的对称点A′,连接BA′、EA′,易得AE+AF=AE+DE=A"E+DE,当D、E、A′在同一直线时,AE+AF最小,利用勾股定理求解即可. 故选:D. 4 .(2021•利辛县模拟)如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠ABC=60°,∠ABC的平分线交AC于点D,点P,Q分别是BD,AB上的动点,则AP+PQ的最小值为( ) A.6 B.6√3 C.3 D.3√3 【分析】在BC上取E,使BE=BQ,这样AP+PQ转化为AP+PE即可得出答案. 在BC上取E,使BE=BQ,连接PE,过A作AH⊥BC于H, ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD, ∵BP=BP,BE=BQ, ∴△BPQ≌△BPE(SAS), ∴PE=PQ, ∴AP+PQ的最小即是AP+PE最小, 当AP+PE=AH时最小, 在Rt△ABH中, AB=6,∠ABC=60°, ∴AH=AB•cos60°=3√3 ∴AP+PQ的最小为3√3,故选:D. 5.(2021•淮南一模)如图,Rt△ABC中.∠BAC=90°,AB=1,AC=2√2.点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为( ) A.8/9 B.16/9 C.8√2/9 D.16√2/9 【分析】如图,作A关于BC的对称点A",连接AA",交BC于F,过A"作A"E⊥AC于E,交BC于D,则AD=A"D,此时AD+DE的值最小,就是A"E的长,根据相似三角形对应边的比可得结论.故选:B. 7.(2021•武昌区模拟)如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为AB上一点,且BM=2,N为边BC上一动点,连接MN,点B关于MN对称,对应点为P,连接PA,PC,则PA+2PC的最小值为_______. 【分析】由折叠可知点P在以M为圆心,BM为半径的圆上,以B点为原点,BA所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,通过计算得 8.(2021•成华区模拟)如图,在边长为6的等边△ABC中,点D在边AC上,AD=1,线段PQ在边AB上运动,PQ=1,则四边形PCDQ面积的最大值为_____;四边形PCDQ周长的最小值为_______. 当x取最大值5时,可得求得四边形PCDQ的面积最大值;作点D关于AB的对称点D",连接D"Q,以D"Q、PQ为边作平行四边形PQD"M,过C作CH⊥AB,交D"M的延长线于N,依据平行四边形的性质以及线段的性质,即可发现当M,P,C在同一直线上时,MP+CP的最小值等于CM的长,即DQ+CP的最小值等于CM的长,再根据勾股定理求得CN的长,即可得出四边形PCDQ周长的最小值. 当M,P,C在同一直线上时,MP+CP的最小值等于CM的长,即DQ+CP的最小值等于CM的长, 教学思考: 在解决中考 这一热点难点,最短路径问题时,我们不要一味地搞题海战术,关注解决过程,把实际问题抽象为数学问题,关注到所需要的数学知识,蕴含的数学思想方法。 利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,应用两点之间线段最短,从而做出最短路径的选择。 教学时引导学生多思考,多问几个为什么,透过现象看本质,化未知为已知,化繁琐为简单,体现出化归思想。