构造和发展学生的数学现实，来自数学大师的启示

　　哲学是对于未知领域的沉思
　　----罗素
　　弗赖登塔尔被称为＂二十世纪数学教育之父＂。＂对于数学教育，早在三、四十年代，他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知。他曾是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所的所长。他在1967年至1970年间任＂国际数学教育委员会＂（ICMI）主席，在他的倡议下，召开了第一届＂国际数学教育大会＂（ICME）。他一生中为国际数学教育事业作出了巨大贡献。
　　从五十年代初起，他把主要的精力放在数学教育方面，发表了大量著作，1973年出版的《作为教育任务的数学》就是其中的一本。在这本书中，他阐述了对数学和数学教育的各种基本观点。
　　01、弗赖登塔尔数学教育思想概述
　　荷兰著名数学家弗赖登塔尔认为：数学主要起源于现实、数学教育过程是一个数学化的过程以及学习数学是一个再创造的过程。弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）的数学教育思想主要体现在他提出的＂现实的数学＂、＂数学化＂、＂再创造＂、＂思想实验法＂等数学教育理论上。
　　弗赖登塔尔的数学教育观有五个主要特征：
　　（1）情景问题是教学的平台；
　　（2）数学化是数学教育的目的；
　　（3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；
　　（4）＂互动＂是主要的学习方式；
　　（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式
　　得到现在数学教学设计理论两个最重要的＂符合＂：
　　第一，要符合数学知识的发展规律；
　　第二，要符合学生认知发展的规律。
　　＂再创造＂是弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想，它是学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则。无论是学习数学的抽象，或数学的公理体系，或数学的形式体系，或数学的程式，都无例外地应该使用＂再创造＂的方法，而不应该生吞活剥地进行灌输。
　　用弗赖登塔尔本人的话来说，那就是＂与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。＂一句话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。这和我们所说的＂授人以鱼，不如授人以渔＂也许有某些相同之处。
　　正如加亨教授所说，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。＂
　　02、弗赖登塔尔数学教育思想对教学启发
　　弗赖登塔尔数学教育思想对数学课堂教学的启示弗赖登塔尔关于＂现实的数学＂的教育思想，启发我们教学必须基于学生的＂数学现实＂，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，发展数学现实。
　　他关于＂思想实验法＂的教育思想，要求教师在教学前对学生的数学现实作深入分析，全面洞察，以便在教学设计时充分考虑到学生在课堂上可能出现的种种情况。
　　对于＂数学化＂，按照弗赖登塔尔的观点，即与其说让学生学习＂数学＂，不如说让学生学习＂数学化＂，＂数学化＂中的＂化＂的过程必须是由学习者自己主动去完成，而不是任何外界所强加的。在数学教育中教师应当特别注意这个
　　＂数学化＂的过程，培养学生一种自己获取数学的态度，构建他们自己的数学。
　　实质上，学生＂数学化＂的过程，就是＂数学现实＂进一步提高、抽象、发展的过程。
　　著名数学教育家张奠宙先生认为＂数学化＂，在一次讲座中不无忧虑地指出:值得关注的是，在我国目前的一些课堂教学中，由于过分强调所谓的数学＂生活化＂而出现＂去数学化＂的现象。
　　＂数学教育，自然是以‘数学’内容为核心.数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学’为依归。也就是说，教育手段必须为数学内容服务。
　　可惜的是，这样的常识，近来似乎不再正确了，君不见，评论一堂课的优劣，只问教师是否创设了现实情境?学生是否自主探究，气氛是否活跃?是否分小组活动？用了多媒体没有?至于数学内容，反倒可有可无起来。＂
　　弗赖登塔尔的＂再创造＂，实际上是一种教学策略。它并非是亦步亦趋地沿着数学历史发展的轨迹艰难曲折地摸索前进，而是既可绕过历史上数学前辈们所曾经陷入的困境和僵局，又可避免他们在前进道路上所走过的弯路，在教师的引导下遵循着一条改良修正的道路阔步前进。
　　简单地说，＂再创造＂是让学生在数学化的过程中充分施展其智能。波利亚曾对＂再创造＂，思维作过惟妙惟肖的描绘：＂一个突然产生的、展示了惊人的（处于戏剧性的重新排列之中）新因素的想法，具有一种令人难忘的重要气氛，并给人以强烈的信念。
　　对此，1987年11月弗赖登塔尔教授在华东师范大学访学期间明确指出：＂我不赞成，发现的教学模式，这种提法，因为它有点像是专门做出来给人研究用的，就内容而言，它常常只限于某个狭窄的题材，或是使用一些具体的材料，严格来说，这只是让儿童以数学概念来做游戏，他们并未真正懂得其中的数学思维；就方法而言，又常常由教师事先设计好了一个个问题，像设置，圈套，似地牵着学生的鼻子走，在这样的教学活动中，学生还是被动的＂。＂
　　03 弗赖登塔尔数学教育思想与核心素养
　　初中数学有十个核心词：数感、符号意识、逻辑推理、空间观点、几何直观、数学计算、数据分析、数学建模、应用意识和创新意识。初中数学教学要围绕这十个核心展开，即教学内容的相应部分要培养学生相应的数学素养，如学习几何要培养：空间观点、几何直观和逻辑推理。
　　在素养之下是数学思想和方法。一般性思想包括观察与试验、抽象与概括、分析与综合、归纳与演绎、比较与分类、一般化与特殊化。
　　具体性思想包括数形结合、分类、函数、方程、化归、整体等思想。具体方法则有待定系数法、配方法、图象法、面积法、换元法、十字相乘法、面积法、割补法等。这样就构成了从数学内容中提炼出来的，又和数学内容紧密相连的，从高到低，从抽象到具体，有层次的数学认知结构。
　　我认为数学最核心的素养是学生通过数学学习形成理性思维和定量分析的习惯。理性思维相对于感性思维，让人做事注重依据和条理；定量分析相对于定性分析，促人做事分析数据，采取行动。
　　数学教师要站在培养学生核心素养的高度，组织教学和安排训练，通过创设问题情境，让学生发现和提出问题，培养创新思维。
　　这一点与弗赖登塔尔的 ＂再创造＂，及＂数学化＂不谋而合，中学所学数学知识是已经形成的完备结构，不可能有创新，但教师的教学过程可引导学生经历类似于数学家发现规律的过程，也就是＂再创造＂。
　　数学本质上是不断的抽象过程，但中学知识还处在抽象的初级阶段，所以要联系实际，通过学生身边的实际问题，形成概念，建立模型，实现＂数学化＂，这也有利于激发学生学习数学的兴趣。
　　也正如李大潜院士对数学核心素养的论述：＂通过认真的数学学习和严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。这些素质和能力是其他课程的学习和其他方面的实践所无法替代或难以达到的，而且，即使所学的数学知识已经淡忘（这是经常发生的情况），这些素质及能力作为一个人的数学素养和个人素质仍不会消失，将伴随终生，始终发挥积极的作用。＂
　　参考文献：刘护灵，弗莱登塔尔＂再发现＂数学教学思想的学习体会。