有关抽象函数的全面探析论文

　　摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。
　　关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性
　　抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为yf（x），且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
　　解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
　　一、抽象函数的定义域
　　例1已知函数f（x）的定义域为〔1，3〕，求出函数g（x）f（xa）f（xa）（a0）的定义域。
　　解析：由由a0
　　知只有当0a1时，不等式组才有解，具体为｛x1ax3a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1时，g（x）才能是x的函数，且其定义域为（1a，3a〕。
　　点评：1。已知f（x）的定义域为〔a，b〕，则f〔g（x）〕的定义域由ag（x）b，解出x即可得解；2。已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，则f（x）的定义域即是g（x）在x〔a，b〕上的值域。
　　二、抽象函数的值域
　　解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定。
　　例2若函数yf（x1）的值域为〔1，1〕求y（3x2）的值域。
　　解析：因为函数yf（3x2）中的定义域与对应法则与函数yf（x1）的定义域与对应法则完全相同，故函数yf（3x2）的值域也为〔1，1〕。
　　三、抽象函数的奇偶性
　　四、抽象函数的对称性
　　例3已知函数yf（2x1）是定义在R上的奇函数，函数yg（x）的图像与函数yf（x）的图像关于yx对称，则g（x）g（x）的值为（）
　　A、2B、0C、1D、不能确定
　　解析：由yf（2x1）求得其反函数为y，yf（2x1）是奇函数，y也是奇函数，。，，而函数yg（x）的图像与函数yf（x）的图像关于yx对称，g（x）g（x）故选A。
　　五、抽象函数的周期性
　　例4、（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（）
　　（A）是偶函数（B）是奇函数
　　（C）（D）是奇函数
　　解：与都是奇函数，，
　　函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数。，，即是奇函数。故选D
　　定理1。若函数yf（x）定义域为R，且满足条件f（xa）f（xb），则yf（x）是以Tab为周期的周期函数。
　　定理2。若函数yf（x）定义域为R，且满足条件f（xa）f（xb），则yf（x）是以T2（ab）为周期的周期函数。
　　定理3。若函数yf（x）的图像关于直线xa与xb（ab）对称，则yf（x）是以T2（ba）为周期的周期函数。
　　定理4。若函数yf（x）的图像关于点（a，0）与点（b，0），（ab）对称，则yf（x）是以T2（ba）为周期的周期函数。
　　定理5。若函数yf（x）的图像关于直线xa与点（b，0），（ab）对称，则yf（x）是以T4（ba）为周期的周期函数。
　　性质1：若函数f（x）满足f（ax）f（ax）及f（bx）f（bx）（ab，ab0），则函数f（x）有周期2（ab）；
　　性质2：若函数f（x）满足f（ax）f（ax）及f（bx）f（bx），（ab，ab0），则函数有周期2（ab）。
　　特别：若函数f（x）满足f（ax）f（ax）（a0）且f（x）是偶函数，则函数f（x）有周期2a。
　　性质3：若函数f（x）满足f（ax）f（ax）及f（bx）f（bx）（ab，ab0），则函数有周期4（ab）。
　　特别：若函数f（x）满足f（ax）f（ax）（a0）且f（x）是奇函数，则函数f（x）有周期4a。
　　从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
　　参考文献：
　　〔1〕陈诚。抽象函数问题分类解析〔J〕。数理化学习，2008（8）。