浅谈数学教学中发展联想能力的实践与认识

　　如何发展学生的联想能力是一个数学教师必须努力实践与思考的重要问题。本文针对＂发展学生联想能力＂的实践从几个方面：相似联想、接近联想、对比联想、因果联想进行了分析，以及培养学生联想能力的做法和体会。通过具体实例阐述发展学生联想能力的必要性和运用联想解决问题的方法。
　　关键词 ：形似联想 、接近联想、对比联想
　　一、问题提出
　　自古以来，我国的教育家对培养学生思维能力就很重视，如孔子说：＂学而不思则罔，思而不学则殆＂、＂参乎，吾道一以贯之＂，其中＂一以贯之＂就是融会贯通、举一反三。钱学森也指出：＂思维科学是教育科学的核心问题＂。随着教改的深入，人们越来越清楚地认识到数学教育之培养能力的重要性。这里的能力，核心是数学思维能力，而联想能力是数学思维能力的重要组成部分。这一切都要求教师在数学教学中加强对学生联想能力的培养和训练。但不是所谓的题海战术，有些教师深信熟能生巧，并采用这一原理来指导学生学习，事实证明：大量数学习题训练和经常性测验考试仅能提高学生成绩，并不能培养学生思维能力，大量习题造成：学生机械地作业，及老师没有讲过的不敢想，没有做过的不敢做的现象。我们应要求学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，加强学生联想能力等思维能力的培养。
　　二、联想的理论基础
　　联想能力是一种多因素的综合性能力，联想思维是联想能力的核心。
　　心理学家把人们的认识过程一般分为为感知、理解、巩固、应用四个基本阶段。感知是认识新知识的起点，理解是认识过程的中心，巩固是暂时联系的加强，应用是认识的继续和深入，也是认识的最终目的。人们以感性认识为基础，上升为思维，可以把外形、品质不同但本质相同的事物，归纳为一类。还可以认识到存在于自然界植物、动物之间的生态平衡关系，达尔文的《生物进化论》是人们由感性认识上升到思维的产物。而学生的学生过程与人们的认识过程也是一致的，例如学生在学习了两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2之后，就可以透过这一形式表达式，了解实质含义，这就是思维过程。联想思维属于思维范畴，具有思维的一般特点。
　　从心理学方面来考察，联想是由一事物想到另一事物的心理过程，也是记忆的再现过程。一般地说，记忆经过一段时间会变得模糊、散乱，甚至＂消失＂。但暂时＂消失＂的记忆受当前事物的刺激会再现出来，把当前事物与过去的事物有机联系起来。起这种作用的主要是联想 ，联想 可以唤醒沉睡的记忆，产生新观念。
　　联想是人们正常的思维活动，平常的联想往往是自发的，有随意性，不见得有什么意义，并且大多数处于散漫无序的状态，但在学习中，联想却是思考问题、解决问题的出发点。波利亚解题思想也离不开联想，波利亚说，在解题活动中我们要设法＂预测到解，或解的某些特征，或某一条通向它的小路＂。＂回忆起某些有用的东西，把有关知识动员起来＂。而这种预测就离不开联想，如果在思考问题时通过联想产生这种预见，我们把它称为有启发性的想法或灵感。波利亚称想出一个好念头是一种灵感活动，也是一种联想思维过程。联想不仅让人能运用旧知识解决新问题，同时会引导人们去探索未知的世界，联想产生创造，飞机、潜艇的发明就是从鸟的飞翔、鱼的沉浮，经过联想 反复试验而获得的，一个人联想丰富，这个人会被认为聪明、点子多、反应快。据不完全统计，大约有70%以上的人爱联想。学生在学习过程和解题过程如果爱联想即称为爱动脑筋，那么他们接受知识比较快，运用知识之间的联系解题也较快。当然联想能力与学生的＂知识是联系在一起的，知识较丰富，联想能力自然就强、联想的范围也广阔。
　　从一定意义上讲，在平时的数学教学中，我们要鼓励学生将所学的知识与未解决的问题联系起来，展开合理、恰当、有效的联想。如求函数y= 的值域。若联想到斜率K= ,则y= 可看作是点（2，-1）与圆x2+y2=1上的点（cosx，sinx）连线的斜率，这样利用数形结合思想，可解出此题。若联想到asinx+bcosx= sin(x+φ) 的形式也可解出。斜率公式 K= ,距离公式d= ,三角等式 =tan(x+ ),对数运算法则等重要公式在具体问题的解决中均有重要的指导作用。
　　总之，一个人具有了联想思维和联想能力，解决问题时会更敏锐，更灵活，更有创造性。
　　三、联想的类型
　　联想主要有以下几种类型。
　　(一)形似联想
　　形似联想也称相似联想或类比联想，就是指事物某种属性的相似性。
　　由于事物之间具有相同或相似的属性，我们可以由一个事物已知的特殊性质联想到另一事物的特殊性质。在日常生活中，人们很容易由江河想到湖海，由树木想到森林等，就是因为这些事物具有相似之处。开普勒说：＂我珍视类比胜于任何别的东西，它总是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。＂波利亚说过＂类比是伟大的引路人＂。
　　在解题过程中为了寻找问题的解
　　决线索，往往借助于类比联想，以达到启发思路的目的，因此，类比联想在求解问题中有着广泛的应用。在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性。
　　例1． 求证：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0则x,y,z成等差数列。
　　：观察已知条件的外形，可联想到一元二次方程的根的判别式
　　=b2-4ac非常相似，则类比题设可以构造一个一元二次方程来求解。于是我们可把已知条件看作是t的二次方程 （x-y）t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件。
　　再次观察还可以发现方程左边的系数之和为零，故方程有两个根为1，于是由韦达定理得：t1t2= =1
　　说明，由本例可见，一般的类比联想解决问题线索为：观察——类比——联想。
　　例2． x R,求函数y= + 的最小值.
　　：求这样的无理函数的最值，用代数法直接求解较难，可由条件联想到距离公式，作如下变形：
　　y= +
　　设p(x,0),A(-1,-1),B(2,2)如图1所示，
　　于是求y的最小值转化为求x轴上一点p，
　　使 ︱PA︱+︱PB︱最小显然是︱PA︱+︱PB︱ ︱AB︱=3
　　当x=0时,y =3
　　说明由＂数＂到＂形＂的类比联想，获得解题的新思路。
　　(二） 接近联想
　　接近联想是指在相互接近的事物之间形成的联想。接近联想是从已知探索未知的有力武器。化学元素周期表的发现便是有力的例证，在数学教学中我们要培养学生学会观察问题的条件和结论，联想到与之内容相近的有关知识，从而发现解决问题的思路。
　　例3：设(x-3)2+(y-3)2=6，试求
　　(1)y/x的最大值、最小值；（2）x2+y2最大值、最小值。
　　：已知的方程代表一个圆Q，如图2，题中的点M(x,y)均在圆周上，观察第（1）题中的＂y/x＂
　　可以联想到直线OM 的斜率，
　　欲求y/x 的极值，就是要求直线OM的斜率的极值，即切线OT1，OT2观察第（2）题中的＂x2+y2＂,可以联想到距离公式，而x2+y2的极值就是OQ与圆Q的交点p1、p2到原点O的距离。因此，两个问题都不难解决。
　　说明：此题运用接近联想把相互接近的式子巧妙地联系在一起，再找出解题方法。
　　（三）对比联想
　　对比联想亦称相反联想。是指具有相反特征的事物或相互对立的事物之间所形成的联想。在平时的教学中，对比联想的事例比比皆是，如在指数函数与对数函数的教学中，它们的定义域和值域、图象和性质，通过对比产生联想，有助于学生的学习和培养对比联想能力。
　　例4：已知x,y,z R ,x+ =y+ =z+
　　求证：x=y=z
　　：本题条件是一个连等式，可化简得到一个三元方程组
　　x2y+x=xyz+y
　　y2z+y=xyz+z
　　z2x+z=xyz+x
　　三式相加得等式x2y+y2z+z2x=3xyz①
　　联想到不等式x2y+y2z+z2x 3
　　即x2y+y2z+z2x 3xyz②
　　比较①式和②会发现当且仅当x=y=z时等式成立。
　　说明：运用对比联想（等式和不等式）解题可起到意想不到的效果。
　　（四）因果联想
　　因果联想是从某一事物出现某种现象，从而联想到它们之间的因果关系的一种思维方法。
　　（五）发散联想
　　发散联想就是在接触某一事物时产生丰富的联想，将思维向更广阔的空间，得出更丰富的结论。我们在讲解教材中的概念、法则、公式、例题时，应引导学生从不同的方面，不同的角度去联想，培养学生一题多解的发散思维能力。
　　如（ab）n=anbn,则(a1a2……an)n=?
　　(a+b)2=a2+2ab+b2,则（a1+a2+……+an）2=?
　　例5．如图正方形ABCD中，E为BC上任意一点， EAD的平分线交CD于F，求证：BE+DE=AE
　　：由已知条件和结论可联想到将BE、DF放在一起，这样可将 ADF旋转到如图 ABF，的位置。
　　：由题设中的直角三角形较多，
　　可联想到用面积来探索解题思路，
　　由S ABE+ S AECF+S ADF=S正ABCD可得。
　　：因条件中有角相等及直角关系，还联想到三角函数来解，设正方形ABCD边长为a， DAF=θ,
　　则BE=a tan( ),DF=a tan ,
　　BE+DF=a cot2 +a tan
　　=a.( + )
　　=a. =
　　而AE= = ,  BE+DF=AE
　　说明：发散联想思维是一种很重要的思维能力，它能导致许多科学发展创造，如：飞机、潜艇等。
　　四、培养学生联想能力的做法
　　联想能力的提高是改善学生思维品
　　质的可靠保证，在平时的教学中不只是注重课本知识，更注重培养学生能力。一方面,因为联想往往要利用头脑中已有知识及解题方法，去探索新问题的解题途径，所以学生不仅要理解基础知识，而且还必须通过亲自体验，即通过例题习题来巩固，形成一种思想上的飞跃，以建构自己的知识网，这样才能举一反三，产生联想 。另一方面，在平时教学中不能拘泥于简单的＂做＂，联想是有条件的，是在对基础知识熟练掌握及运用的基础上，进行思考、反省、是高级智力活动，过度的讲与练，会剥夺学生独立思考、自由发挥的机会，产生负面效应，应讲究一个＂度＂。
　　例6：设0 x 1,0 y 1,求证: + + +
　　：观察不等式左边的特征，
　　联想到几何中两点的距离公式，
　　可将问题转化为正方形OABC 内点p(x,y)
　　到点A，B，C，O的距离之和不小于2 。（如图）
　　即︱OP︱+︱BP︱+︱PA︱+︱PC︱ ︱OC︱+︱AB︱=2
　　：观察不等式左边每项被开方数都是两个正数，故而联想到基本不等式：a2+b2 (a+b)2/2 (a 0,b 0)
　　原不等式左边  (x+y)+ (1-x+y)+ (x+1-y)+ (1-x+y)
　　即左边 2
　　：观察不等式左边各项特征 ，联想到复数模的性质，设Z1=X+Yi，Z2=（1-X）+Yi，Z3=x+(1-y)i,Z4=(1-x)+(1-y)i,
　　所以原不等式左边也转化为  Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 Z 1+ Z 2+ Z 3+ Z 4 = 2+2i =2
　　还可以联想到正弦、余弦的三角函数，函数的极值等等，这样即复习了代数几何知识，又培养学生联想思维能力。
　　例7：是否存在这样的二次函数f(x)=ax2+bx+c,使它的图象过点M(-1,0)且满足条件对一切切实实x R都有x f(x)   (1+x)
　　:单从结构上联想，就近挂靠基本不等式及其变形，直接建立它与ab ( )2  （a,b R）的联系，设a=1,b=x,所以f(x)=( )2= x2+ x+ ,且过点（-1，0），合乎题意，还可以构造例题：是否存在这样的二次函数其过点（-n ,0）,且对一切实数x满足nx f(x)  (n +x ).
　　说明，一道好的数学题字里行间无不散发着大量信息，由此展开丰富的联想，大胆的创新，直至关键的突破。
　　例8:设x ,求证cscx-cotx  -1
　　由 ,1联想等腰直角三角形,不仿构造一个等腰直角三角形来研究.
　　作RT ABC,令 C=90.AC=1在AC上取一点D,设 CDB=X,则BD=cscx,CD=cotx,AD=1-cotx利用AD+DB AB=
　　可得cscx-cotx  -1
　　说明:在教学中启发学生通过敏锐的观察、丰富的联想,构造数学模型解题。
　　总之，在教学中培养学生的联想能力要有一个过程，要体现层次，要充分让学生思考，教师加以积极的引导，鼓励他们联想，而不应将解题思路、定理结论等强加给学生。这样才能更好地培养学生的联想能力，提高他们分析问题、解决问题的能力。
　　下面是我在平时数学教学中一个关于培养学生联想能力的教学案例。
　　课题：三角函数的解题技巧
　　在解三角函数的具体问题时，我们常需要通过丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力构造数学模型来解决问题，因此在平时教学中我常设计这样的习题课，让学生积极想象，找出解题思维。
　　例1：若0 β α  ，求证α-β tanα-tanβ
　　通过此题，学生热烈讨论后（讨论了许多思路都行不能）教师可适当提示，最后总结出用单位圆中的三角函数线求解。
　　例2：在 ABC中，已知2b=a+c，且a b c,C-A=90。
　　求证：sinA:sinB:sinC的值.有些同学很快由a:b:c=sinA:sinB:sinC
　　可如何求 a:b:c呢？又由C-A=90。，联想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。（ ABC CBD）
　　例3：设m是给定的非零常数，f(x)定义在R上，且对任意x。，有f(x+m)=
　　求证：f(x)为周期函数、并求其周期。
　　此题属于抽象函数题较难，同学们讨论分析的时间也最长。最后在教师的指导下，由f(x)为周期函数联想到三角函数，再由条件f(x+m)=
　　的结构联想到正切公式tan(x+ )= 因为tanx的周期是π，恰为π/4的4倍，因此同学生们猜想f(x)的周期有可能为4m，有些同学并给出如下证法：
　　f(x+m)=
　　f(x+２m)=f(x+m+m)=-
　　f(x+3m)=f(x+2m+m)=
　　f(x+4m)=f(x+3m+m)=f(x)
　　所以f(x)是周期函数，其周期为4m。
　　通过上述例子的分析学生对抽象函数的问题就有了比较好的思考途径。接着给出下列问题让学生思考：
　　设f(x)是定义在R上的函数，对于任意x1,x2 （0， ）。都有f(x1+x2)=f(x1)* f(x2)求f( )和f( ).
　　并让学生考虑，根据下面所列函数的性质，联想它们可能对应哪些初等函数（1）f(xy)=f(x)f(y),(2)f(x+y)=f(x)+f(y),
　　(3)f(x-y)=f(x)-f(y),这样几种常见的函数的性质联系起来了。
　　在教学中多举例让学生进行合理联想，使学生养成爱动脑筋，积极主动发现问题的习惯，对学好数学培养数学思维能力起到积极的推动作用。
　　五、实践体会
　　当然，在教学实践中我深深之体会到，要提高学生的联想能力还存在许多困难，因为：① 学生联想意识不强，未养成爱联想的习惯。②学生基础知识掌握得不牢固，无想可联。③有些学生思维活泼，可受较害羞、性格内向、想了不敢说且不敢继续想等心理的影响。我将在今后的工作学习中进一步提高自己，努力发展学生联想能力。