直接数字式信号合成中的波形设计与频谱分析

　　摘要:在分析了直接数字式信号合成系统中波形存储器输出序列的离散傅里叶变换(DFT)与合成信号的频谱之间关系的基础上，给出几种基于原输出序列设计的波形序列，推导出关于它们DFT的几个重要结论，并用MATLAB程序对结论进行了验证。根据结论，在利用波形存储器中限定数据进行信号合成时，通过波形设计可提高合成信号的频率分辨率或按一定规律调整合成信号的频谱。
　　关键词:  直接数字式信号合成    波形设计    DFT    频率分辨率
　　分类号:  TN911.3
　　Waveform Design and Spectral Analysis in Direct Digital Signal Synthesizing
　　Tian  Xinguang    Li  Lin    Zhang  Eryang
　　( School of Electronic Science and Engineering , NUDT, Changsha    410073 )
　　Abstract: In this paper, the relationship between the DFT of an output sequence of the waveform memory in a direct digital signal synthesizing system and the frequency spectrum of the correspo-nding synthesized signal is analyzed.  Then, several designed waveform sequences based on the output sequence are presented , and several important conclusions about their DFT are respective-ly derived and confirmed with MATLAB programs.It is shown that the waveform design proposed is an effective method to synthesize signals of high frequency resolution or of variable spectrum with definite data in the waveform memory.
　　Key words: direct digital signal synthesizing  waveform design  DFT  frequency resolution
　　直接数字式信号合成系统的工作原理与合成信号分析
　　直接数字式信号合成系统一般由波形生成单元、波形存储器、寻址单元、数模转换器（DAC）、低通滤波器（LPF）等基本部分组成，其工作原理如图1所示：
　　图1   直接数字式信号合成系统的工作原理图
　　工作时，首先波形生成单元要根据所需合成的信号生成相应的波形数据，并将其输出至波形存储器，然后寻址单元按一定方式对波形存储器进行寻址，将其中的波形数据读出，形成时间离散的波形序列，DAC将波形序列转换为时间连续的阶梯波，阶梯波再经LPF滤波后即为合成的信号。若合成信号的过采样率（寻址频率与合成信号带宽之比）较小（不能小于2），有时为了降低对LPF锐截止幅频特性的要求，在波形存储器与DAC之间还设有插值滤波器来对波形序列做插值滤波，以下分析中不考虑插值滤波。当工作过程中波形存储器被写满数据后不再被重写，并且寻址单元对它做周期寻址时，它输出给DAC的波形序列是周期序列，下面将分析这种周期波形序列在一个周期内对应的有限长序列的DFT与合成信号频谱之间的关系。
　　设是一个绝对可积的时间连续信号，且仅在时有值，以时间间隔对其进行采样可得冲激串信号：
　　仅在时有值，将其冲激函数乘积项去掉可得点长的波形序列：
　　以为周期延拓后的周期冲激串信号为：
　　去掉冲激函数乘积项后是一个周期为的序列：
　　设波形存储器的地址范围为至，若把看成是寻址单元做周期顺序寻址时波形存储器输出的波形序列，则此序列经DAC转换后的阶梯波可看成是经过一个系统频谱函数为的系统后的信号（DAC的转换周期为），因而合成信号的频谱函数可由的频谱函数来表示，下面就对的频谱进行分析。
　　信号时域上的周期延拓对应于频域上的采样，的频谱函数可由的频谱函数表示为：
　　(1) 式
　　信号时域上的采样对应于频域上的周期延拓，是一个周期函数，它可由的连续时间傅里叶变换或的傅里叶变换来表示：
　　(2) 式
　　式中和分别为模拟频率和数字频率。
　　与的点DFT 之间的关系为：
　　(3) 式
　　设以为周期延拓后的周期序列为,
　　(4) 式
　　(5) 式
　　可见， 的频谱是一个周期离散谱，在一个周期内有根冲激谱线，谱线系数为。的频率分辨率（相邻两谱线的频率间隔）为 这也是合成信号的频率分辨率。
　　要提高合成信号的频率分辨率，可将寻址单元的寻址周期延长，若要将其延长为（为整数），最直接的方法是使寻址单元在一个寻址周期内仅在时寻址，而在时不寻址（其间保持波形存储器输出为0），这时波形存储器输出序列可看成是以为周期廷拓后的序列，与对应的周期冲激串信号可看成是以为周期延拓后的信号， 的频谱在一个周期内有根冲激谱线，谱线系数为, 这里的是的点补零DFT。（相对于点DFT，的点补零DFT仍可看成是对的取样，只是取样间隔发生了变化。）虽然这时合成信号的频率分辨率得到提高，但也存在两个问题：
　　一、信号的平均能量减小为原来的倍。
　　二、信号的时域波形有间断。这在一些情况下是不允许的（例如在合成信号用作某些测试信号或干扰信号时）。要解决这两个问题，可基于设计新的波形序列。
　　2  基于设计的波形序列及其DFT分析
　　波形设计是指利用波形存储器中限定的数据，通过改变寻址方式和符号变换产生具有不同周期及波形特征的序列，以合成高频率分辨率或频谱可变的信号。下面给出几种基于设计的波形序列，并分析它们与之间的DFT关系。
　　序列－是点序列，它可表示为：
　　系统产生序列的方法是使寻址单元在以及时从0至－1顺序寻址，在和时从至0逆序寻址。在
　　时不寻址（并保持波形存储器输出为0），另外，在时，系统要对波形存储器输出序列做符号变换。
　　序列二是点序列，它可表示为：
　　产生时寻址单元需在时连续做四次顺序寻址，且系统需在时对存储器输出序列做符号变换。
　　序列三 是点序列，它可表示为：
　　式中需满足条件，即和是互素的，这样才能保证的个点与的个点有一一对应的关系。产生时寻址单元需在时进行跳跃式顺序寻址，寻址次序为。
　　以下是关于上面序列与之间DFT关系的三个结论。
　　结论一：的4 4点DFT 与的4 4点补零DFT 的关系为：
　　时（为区间上的整数）
　　时
　　证明：
　　当时，
　　故；
　　当时，
　　故。
　　结论二：的4点DFT与的4点补零DFT 的关系为：
　　时（为区间上的整数）
　　时
　　证明：
　　故当时，； 当时，。
　　结论三：的点DFT与的点DFT之间的关系为：
　　证明：
　　根据以上三个结论，  和分别以4+4为周期延拓后的序列经DAC转换后的两个阶梯波信号以及和分别以4为周期延拓后的序列经DAC转换后的两个阶梯波信号，频率分辨率分别相同，频谱中各频点谱线系数的模值分别是两倍关系（信号平均能量分别是四倍关系），偶次基频点谱线系数的相角分别相同。（相对于以为周期延拓后的序列经DAC转换后的阶梯波信号，以上信号频率分辨率得到了提高，且频谱中谱线系数模值的包络没有改变。） 和分别以为周期延拓后的序列经DAC转换后的两个阶梯波信号的频谱中谱线分布虽不相同，但不同频点的谱线系数能按规律建立起一一对应相等的关系。
　　3  三个结论的MATLAB验证 图4是的64点DFT 与的64点补零DFT 的相角差图，图中为偶数时相角差为0，为奇数时相角差为或；程序运行结果中模值是模值的两倍，验证图不再给出。
　　图5是的16点DFT 的模值图，图6是时的16点DFT 的模值图，从图中可以看出，；程序运行结果表明，和的相角之间也有这样的关系，验证图不再给出。
　　结束语
　　文中提出的波形设计主要针对直接数字式信号合成中的两个问题：
　　一、在波形存储器容量一定的情况下提高合成信号的频率分辨率；
　　二、利用波形存储器中限定数据来合成频谱可变的信号。几种给出的波形序列及推导出的相应结论在某些信号（例如通信干扰信号和通信对抗背景模拟信号）的直接数字式合成中具有重要的参考价值。
　　参考文献：
　　王里生，罗永光. 信号与系统分析. 国防科技大学出版社，1989.
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