函数及其表示解析式（学生学案）

　　知识结构：
　　1．函数的基本概念
　　(1)函数的定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y f(x)，x a.
　　2．映射的概念
　　一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a b为从集合a到集合b的一个映射．
　　3．分段函数与复合函数
　　①如果一个函数在定义域的不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
　　②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。
　　基础训练：
　　1．下列各对函数中，表示同一函数的是(　　)．
　　a．f(x) lg x2，g(x) 2lg x b．f(x) lg，g(x) lg(x 1)－lg(x－1)
　　c．f(u)  ，g(v)  d．f(x) ()2，g(x)
　　2．设函数 ，则  ________．
　　3.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：
　　其中能表示为 到 的函数关系的有_____ ____．
　　4.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __ __．
　　5.设函数 ， ，则 _________； __________．
　　6.设函数 ， ,则 ___________； ____； ____．
　　7．（1） ， ， ；
　　（2） ， ， ；
　　（3） ， ， ．
　　上述三个对应__________________是 到 的映射．
　　例题选讲：
　　例1：判断下列对应是否是从集合a到集合b的映射：
　　(1)a=r,b={x|x>0}，f:x |x|； (2)a=n,b=n ，f:x |x-2|； (3)a={x|x>0},b=r，f:x x2.
　　例2：设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．其中表示同一个函数的有_________
　　例3：(1)已知f lg x，求f(x)；
　　（2）已知函数 ，求 ；
　　(3)已知f(x)是二次函数，若f(0) 0，且f(x 1) f(x) x 1，试求f(x)的表达式．
　　(4)已知f(x)  2f() 2x 1，求f(x)．
　　例4
　　例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出 的函数解析式．
　　例5．矩形 的长 ，宽 ，动点 、 分别在 、 上，且 ，（1）将 的面积 表示为 的函数 ，求函数 的解析式；
　　（2）求 的最大值．
　　巩固作业：
　　a组：
　　一、选择题：
　　1．下列函数中，与函数 相同的函数是 （ ）
　　2．已知集合 ，映射 ，在 作用下点 的象是 ，则集合 （ ）
　　二、填空题：
　　3．给定映射 ，点 的原象是 _______ ．
　　4．设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一个函数的有___ ___．
　　5．已知 ，且 ，则m等于________．
　　6．已知a，b为常数，若 ， ，则 _______．
　　第8题
　　7.设f(x)  ，则f[f( )] _____________．
　　8.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
　　三、解答题：
　　9. 已知函数 与 分别由下表给出：
　　(1)求 的值； (2)若 2时，求 的值；
　　10.下列从m到n的各对应法则中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？
　　(1)m={直线ax+by+c=0}，n=r，f1:求直线ax+by+c=0的斜率;
　　(2)m={直线ax+by+c=0}，n={α|0 α π}，f2:求直线ax+by+c=0的倾斜角;
　　(3)当m=n=r，f3:求m中每个元素的正切；
　　(4)m=n={x|x 0}，f4:求m中每个元素的算术平方根.
　　11．（1）已知 ，求 ；
　　（2）已知 ，求 ；
　　（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
　　（4）已知 满足 ，求 ．
　　（5）已知 ，求 的解析式
　　12.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
　　b组：
　　一、选择题：
　　1．(XX·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y [x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)．
　　a．y  b．y  c．y  d．y
　　2．(XX·辽宁)设函数f(x) 则满足f(x) 2的x的取值范围是(　　)．
　　a．[－1,2] b．[0,2] c．[1， ) d．[0， )
　　二、填空题：
　　3． (XX·江苏)已知实数a 0，函数f(x) 若f(1－a) f(1 a)，则a的值为________．
　　4. 函数 ，其中p，m为实数集r的两个非空子集，又规定 ， ，给出下列四个命题：
　　①若 ，则 ②若 ，则
　　③若 ，则 ④若 ，则
　　其中真命题的序号有____ __．
　　5. 设集合 对任意实数x恒成立}，则下列结论中：
　　①p q ；②q p；③p=q；④p q= ．其中正确结论的序号有______ ______．
　　三、解答题：
　　6.已知函数 与 的图像关于点 对称，求 的解析式．
　　7.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x) x2 2x．求函数g(x)的解析式．
　　8.（1）设 ，求函数 的解析式；（2）已知 ，求函数 的解析式．