反比例函数的教学设计

　　知识技能目标
　　1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质;
　　2.利用反比例函数的图象解决有关问题.
　　过程性目标
　　1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质;
　　2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.
　　教学过程
　　一、创设情境
　　上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课，我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数，k 0)的图象，探究它有什么性质.
　　二、探究归纳
　　1.画出函数的图象.
　　分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x 0.
　　解1.列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
　　2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
　　3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象.
　　上述图象，通常称为双曲线(hyperbola).
　　提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?
　　学生试一试：画出反比例函数的图象(学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤).
　　学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题.
　　1.这个函数的`图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?
　　2.反比例函数(k 0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?
　　3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?
　　反比例函数有下列性质：
　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;
　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.
　　注1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;
　　2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.
　　以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?
　　在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少.
　　在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小.
　　三、实践应用
　　例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值.
　　分析由反比例函数的定义可知：,又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值.
　　解由题意，得解得.
　　例2已知反比例函数(k 0)，当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.
　　分析由于反比例函数(k 0)，当x>0时，y随x的增大而增大，因此k<0，而一次函数y=kx-k中，k<0，可知，图象过二、四象限，又-k>0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方.
　　解因为反比例函数(k 0)，当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限.
　　例3已知反比例函数的图象过点(1,-2).
　　(1)求这个函数的解析式，并画出图象;
　　(2)若点A(-5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
　　分析(1)反比例函数的图象过点(1,-2)，即当x=1时，y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;
　　(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
　　解(1)设：反比例函数的解析式为：(k 0).
　　而反比例函数的图象过点(1,-2)，即当x=1时，y=-2.
　　所以，k=-2.
　　即反比例函数的解析式为：.
　　(2)点A(-5,m)在反比例函数图象上，所以，
　　点A的坐标为.
　　点A关于x轴的对称点不在这个图象上;
　　点A关于y轴的对称点不在这个图象上;
　　点A关于原点的对称点在这个图象上;
　　例4已知函数为反比例函数.
　　(1)求m的值;
　　(2)它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?
　　(3)当-3 x 时，求此函数的最大值和最小值.
　　解(1)由反比例函数的定义可知：解得，m=-2.
　　(2)因为-2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大.
　　(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，
　　所以当x=时，y最大值=;
　　当x=-3时，y最小值=.
　　所以当-3 x 时，此函数的最大值为8，最小值为.
　　例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米.
　　(1)写出用高表示长的函数关系式;
　　(2)写出自变量x的取值范围;
　　(3)画出函数的图象.
　　解(1)因为100=5xy,所以.
　　(2)x>0.
　　(3)图象如下：
　　说明由于自变量x>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.
　　四、交流反思
　　本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.
　　1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola).
　　2.反比例函数有如下性质：
　　(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;
　　(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.
　　五、检测反馈
　　1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
　　(1);(2).
　　2.已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：
　　(1)y和x的函数关系式;
　　(2)当时，y的值;
　　(3)当x取何值时，?
　　3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值.
　　4.已知反比例函数经过点A(2,-m)和B(n,2n)，求：
　　(1)m和n的值;
　　(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0<x2，试比较y1和y2的大小.