第七章三角形简介

　　课程教材研究所 薛彬
　　＂三角形＂一章章节结构是＂与三角形有关的线段＂＂与三角形有关的角＂＂多边形及其内角和＂＂课题学习 镶嵌＂．这与以往的内容安排有所不同．按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级．而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌．
　　本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　7.1 与三角形有关的线段　　　　　　　　　2课时
　　7.2 与三角形有关的角 2课时
　　7.3 多边形及其内角和　　　　　　　　　　2课时
　　7.4 课题学习 镶嵌　　　　　　　　　　　　2课时
　　数学活动
　　小结　　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　 （一）本章知识结构
　　本章知识结构框图如下：
　　（二）教科书内容
　　本章首先介绍三角形的有关概念和性质．例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线．又如，在知道三角形的三个内角的和等于180 的基础上，了解这个结论成立的道理．通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识．另一方面，
　　这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．
　　以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形的内角和等于180 得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习．
　　镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力．
　　（三）课程学习目标
　　1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性．
　　2了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180 ，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
　　3了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．
　　4通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
　　二、本章编写特点
　　（一）加强与实际的联系
　　三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用．教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念．多边形概念的引入，也是类似处理的．
　　三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180 ．教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：＂盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？＂．然后让学生通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中＂斜钉一根木条＂的道理．除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于180 ，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系．
　　在本章的课题学习中，教科书从用地砖铺地引入镶嵌，进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计．在编写时关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深．
　　（二）加强与已学内容的联系
　　学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．
　　上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180 可以启发学生得出说明这个结论正确的方法，而说明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．在编写时关注本章内容与已学内容的联系，帮助学生掌握本章所学内容．另一方面，又注意让学生通过本章内容的学习，复习巩固已学的内容．
　　（三）加强推理能力的培养
　　在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备．为达到上述要求，在编写时注意了以下内容的处理：
　　（1）由＂两点之间，线段最短＂说明＂三角形两边的和大于第三边＂；
　　（2）由平行线的性质与平角的定义说明＂三角形的内角和等于180 ＂；
　　（3）由＂三角形的内角和等于180 ＂得出＂三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和＂；
　　（4）由＂三角形的内角和等于180 ＂得出多边形内角和公式；
　　（5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；
　　（6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面．
　　上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的思路，通过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论的过程．
　　三、几个值得关注的问题
　　（一）把握好教学要求
　　与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到．如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习＂全等三角形＂一章时再介绍．同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心．
　　在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过＂三边对应相等的两个三角形全等＂，可进一步明白其中的道理．说明三角形的内角和等于180 有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握．要明确本章仍是正式介绍证明的准备阶段，对推理的要求应循序渐进．
　　（二）开展好课题学习
　　可以如下展开课题学习：
　　背景 了解多边形覆盖平面问题来自实际．
　　实验 发现有些多边形能覆盖平面，有些则不能．
　　（3）分析 讨论多边形能覆盖平面的基本条件，发现问题与多边形的内角大小有密切关系，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析．
　　（4）运用 进行简单的镶嵌设计．
　　首先引入用地砖铺地，用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并记下实验结果：
　　（1） 用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）．用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．
　　（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案．
　　（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案(图2)．
　　观察上述实验结果，得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条件:
　　（1）拼接在同一个点（例如图2中的点o）的各个角的和恰好等于360 （周角）；
　　（2）相邻的多边形有公共边（例如图2中的oa两侧的多边形有公共边oa）．
　　运用上述结论解释实验结果，例如，三角形的内角和等于180 ，在图2中， 1+ 2+ 3=180 ．因此,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2）, 一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360 ,并且使边长相等的两条边贴在一起．于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案．又如，由多边形内角和公式，可以得到五边形的内角和等于
　　 (5－2) 180 =540 ．
　　因此,正五边形的每个内角等于
　　 540 5=108 ,
　　360 不是108 的整数倍,也就是说用一些108 的角拼不成360 的角．因此，用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．
　　最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用