22。2。4判别一元二次方程根的情况

　　教学内容
　　用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a 0）的根的情况及其运用． 教学目标
　　掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a 0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a 0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
　　通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题， 分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键
　　1．重点：b2-4ac>0  一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0  一元二次方程没有实根．
　　2．难点与关键
　　从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系． 教学过程
　　一、复习引入
　　（学生活动）用公式法解下列方程．
　　（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2  x+1=0 （3）4x2+x+1=0
　　老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0， 有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac= -4 4 1 =<0， 方程没有实根 二、探索新知
　　从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
　　求根公式：x=  ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，  等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=   x1=  ，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时， 根据平方根的意义  =0，所以x1=x2=  ，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
　　因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0） 有两个不相等实数根即x1=  ，x2=  ．
　　（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等实数根即x1=x2=  ．
　　（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）没有实数根． 例1．不解方程，判定方程根的情况
　　（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
　　（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
　　分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
　　解：（1）化为16x2+8x+3=0
　　这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4 16 3=-128<0
　　所以，方程没有实数根．
　　（2）a=9，b=6，c=1，
　　b2-4ac=36-36=0，
　　方程有两个相等的实数根．
　　（3）a=2，b=-9，c=8
　　b2-4ac=（-9）2-4 2 8=81-64=17>0
　　方程有两个不相等的实根．
　　（4）a=1，b=-7，c=-18
　　b2-4ac=（-7）2-4 1 （-18）=121>0
　　方程有两个不相等的实根． 巩固练习
　　不解方程判定下列方程根的情况:
　　（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-  =0
　　（3）3x2+6x-5=0（4）4x2-x+  =0
　　（5）x2-  x-  =0（6）4x2-6x=0
　　（7）x（2x-4）=5-8x 应用拓展
　　例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
　　分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
　　解： 关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
　　（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
　　a<-2
　　ax+3>0即ax>-3
　　x<-
　　所求不等式的解集为x<-   归纳小结
　　本节课应掌握：
　　b2-4ac>0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实根；b2-4ac<0  一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）没有实数根及其它的运用．作业:
　　一、选择题
　　1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
　　a． b2-4ac=-8， 方程有解
　　b． b2-4ac=-8， 方程无解
　　c． b2-4ac=8， 方程有解
　　d． b2-4ac=8， 方程无解 2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
　　a．a=0 b．a=2或a=-2 c．a=2 d．a=2或a=0 3．已知k 1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
　　a．k 2 b．k>2 c．k<2且k 1 d．k为一切实数 二、填空题
　　1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
　　2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（ 填＂二个不等实根＂或＂二个相等实根或没有实根＂）．
　　3．已知b 0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2） =0的根的情况是________． 三、综合提高题
　　1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
　　（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2  ）x+  +4=0
　　2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
　　3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
　　4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:
　　一、1．b 2．b 3．d
　　二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根
　　三、
　　1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4 3 （-2）=49>0，有两个不等实根．
　　（2）b2-4ac=1+4  +12-4  -16=-3<0，没有实根．
　　2． c<0  b2-4 1 c>0，方程有两个不等的实根．
　　3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2 0， 方程有两个不相等的实根或相等的实根．
　　4．设平均增长率为x，  （1+x）2=720000000，即50（1+x）2=72 解得x=20%， 年销售总额的平均增长率是20%．