机器学习基础知识学习偏导数梯度

　　偏导数的概念及几何意义
　　定义 设函数 Z = f(x,y)在点( , )某一领域内有定义，当 y 固定在  而 x 在 处有增量 时，相应的函数有增量 f( +  ) - f( , )，如果 存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在点（ , ）处对 x 的偏导数，记作
　　如果函数 f( x , y)在区域 D 内任一点（ x, y ）对 x 的偏导数都存在，则这个偏导数就是 x 、y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 x 的偏导函数，记作
　　类似地，可定义函数 Z = f ( x , y ) 对 y 的偏导数，记作
　　多元函数的偏导数可简称为偏导数
　　上述定义表明，在求多元函数对某一个自变量的偏导数时，只需要把其余自变量看为常数，然后直接利用一元函数的求导公式，即复合函数求导法则来计算
　　求 Z = f ( x , y ) =  + 3xy +  在点（1，2）处的偏导数
　　解：把 y 看作常数，对 x 求导： ( x , y ) = 2x + 3y
　　把 x 看作常数，对 y 求导： ( x , y ) = 3x + 2y
　　将（1，2）代入，得：
　　（ 1，2 ）= 2*1 + 3*2 = 8 ，  （ 1，2 ）= 3*1 + 2*2 = 7
　　一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？
　　设 ( , , f( , )) 为曲面 Z = f( x , y ) 上一点，偏导数 ( x , y ) 就是曲面被平面 y =  所截得的曲线在点 处的切线 对 x 轴的斜率
　　偏导数 (  ,  ) 就是曲面被平面 x =  所截得的曲线在点  处的切线 对 y 轴的斜率
　　在一元函数中，若函数在某点可导，则它在该点必连续，多元函数也有类似性质吗？
　　对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续
　　试证函数
　　证明： =
　　=
　　= 0
　　=
　　=
　　= 0
　　由于极限 不存在，f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )不连续
　　高阶偏导数
　　设函数 f ( x , y ) 在区域 D 内具有偏导数
　　,  ,
　　则在 D 内  , 都是 x , y 的函数，
　　如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数
　　按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：
　　=  =
　　=  =
　　=  =
　　=  =
　　其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数
　　类似地，可以定义三阶、四阶...以及 n 阶偏导数，我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数
　　例：
　　定理 如果函数 f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数  、 在区域 D 内连续，则在该区域内有  =
　　推广 高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关
　　高阶导数实际上也就是一元函数求导梯度
　　1、z = f ( x , y ) 在点 ( , )处的梯度
　　gradf(  ,  ) =  +
　　注：拿两个偏导数分别乘以自变量
　　2、u = f ( x, y, z)在点 ( , , )处的梯度
　　gradf( , , ) =  + +
　　注：i,j,k分别代表x轴、y轴、z轴上的单位向量
　　例 f ( x, y, z) =  , 求 gradf(1, 1, 1)
　　解：gradf(x, y, z) =  + +
　　= 2xi + 2yj + 2zk
　　gradf(1, 1, 1) = 2i + 2j + 2k
　　= {2, 2, 2}梯度的应用-蚂蚁逃生
　　铁板温度：T = 80 -  - - x
　　蚂蚁落在 M(1, 1)处的逃生方向和逃生路线？
　　温度增加最快的方向是梯度方向，温度减少最快的方向是梯度的反方向
　　M的切线的法线方向，从温度高的一侧往温度低的一侧
　　设逃生路线方程为 F(x, y) = 0 , 任意点处的切向量(dx, dy) 平行于gradT (两个向量平行，对应坐标成比例 )
　　则
　　4x + 1 =
　　代入 (1, 1)点得 C = 5
　　即逃生方向为 4x + 1 =  (应该是一个抛物线的一部分)
　　到这里线性代数、微积分、概率论等知识点大概学习完了，下一篇开始学习python的相关知识。数学的知识点虽然大概学习完了，但是有很多内容一知半解，需要在后续的学习中慢慢体会，相信勤加练习会逐渐融会贯通的
　　#头条创作挑战赛#