矩阵运算（矩阵运算公式大全）

　　矩阵运算（矩阵运算公式大全）
　　在slam和sfm领域，恢复相机位姿和3D点的坐标是其重要的任务，描述一个场景的3D点在不同相机的图像坐标之间的关系被称为对极几何关系。对极几何关系描述的矩阵通常有基本矩阵（fundamentalmatrix）、本质矩阵（essentialmatrix）、单应矩阵（homographymatrix）。基本矩阵的求解算法有7点法、8点法；基本矩阵的求解算法有5点法、8点法；单应矩阵的求解算法为DLT算法。
　　在对极几何关系矩阵中，单应矩阵的求解、基本矩阵和本质矩阵的8点法求解算法统称为线性求解，而基本矩阵的7点法和本质矩阵的5点法称为非线性求解，尤其本质矩阵的5点法求解过程非常复杂，大多数教材都是先计算基本矩阵，然后利用内参和基本矩阵求解本质矩阵（如orb2slam中本质矩阵的求解），5点法的求解涉及10次多项式的求解，故相关资料较少（包括波恩大学photogrammetry课程，5点法求解E矩阵的过程也是直接跳过）。
　　关于其它对极几何（F7points、F8points、E8points、HDLT）的算法具体介绍，可以关注本人视觉三维重建的关键技术与实现colmap代码解析课程视频，具体课程介绍：
　　https：app0s6nfqrg6303。h5。xiaoeknow。comv1coursecolumnp609161a1e4b071a81eb781a8？type3
　　二、算法介绍
　　（1）前提条件
　　Essentialmatrix5个dof，故最小支撑点为5对匹配点。
　　（2）算法流程
　　首先借鉴求解f矩阵的线性表达式，得到有关本质矩阵元素的表达式如下：
　　填充元素可得：
　　step1：提取nullspace的4个特征向量
　　因为未知数个数为9，E的dof为5，则以上齐次方程的解存在4个基础解系，那么E矩阵的通解变为基础解系的线性组合，即：
　　由于E本身尺度不唯一，故为了不失一般性，令c｛w｝1，则未知数元素变为了〔c｛x｝，c｛y｝，c｛z｝〕；
　　代码如下：
　　step2：加入约束方程
　　把（1）式带入（2）和（3）中得到9个三元三次方程
　　step3：利用GaussJordan消元
　　由于三元三次求解不好求解，故可以建立等效方程，将其变成Aj0；其中A矩阵是1020的大小，j是未知数c｛x｝，c｛y｝，c｛z｝的20个组合。利用GaussJordan约减A可得到以下矩阵：
　　将（4）式有关z的多项式全部代入（5），便可得到关于z的一元10次方程。高斯约减的图示如下：
　　注：将Mx0，约减成〔IB〕x0
　　代码如下：
　　step4：求解E矩阵
　　根据step3得到每个c｛z｝都可以求出一组c｛x｝，c｛y｝，带入（1）便可求解出E矩阵：
　　参考文献：
　　1。RecentDevelopmentsonDirectRelativeOrientation〔J〕。HStewnius。ISPRS2006
　　2。Anefficientsolutiontothefivepointrelativeposeproblem〔J〕。D。Nister。EEETPAMI，26（6），2004