张朝阳的物理课探究谐振子模型的量子化问题

　　2月6日12时，《张朝阳的物理课》第二十六期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，开讲谐振子模型的量子化问题。张朝阳先回顾经典力学中谐振子的运动方程、势能，再从双原子分子中两个原子间的势能出发，通过泰勒展开得到最低势能点附近的谐振子近似，以此阐述了谐振子在微观世界的普遍性，最后通过求解谐振子的薛定谔方程，带领网友成功理解谐振子模型的量子化问题。
　　回顾经典线性谐振子：胡克定律与运动方程
　　张朝阳先带着网友回顾经典力学中的谐振子问题。以弹簧小球模型为例，在经典力学中，谐振子的回复力是Fkx，即所谓的胡克定律。根据牛顿第二运动定律，可以得到谐振子的运动方程：
　　他告诉网友，在通常的处理中，物理学家会通过定义角频率0（km）来简化符号的使用。他快速给出上述方程的解的形式：xRe〔x0e（i0t）〕。他提醒说，谐振子以正弦的形式振动，0是振动的角频率。他也顺势介绍谐振子在振动过程中，动能和势能互相转化，总能量保持不变。在谐振子中，势能的微分duFdx，于是得出谐振子的势能公式。
　　分子势能模型：选取平衡位置点泰勒展开做近似
　　谐振子是弹簧的理想模型，但是微观世界并没有弹簧，那么谐振子对于量子力学有什么意义呢？张朝阳以双原子分子为例，对此作出生动的介绍。他在小白板上明示双原子分子中的两个原子之间的势能。
　　双原子分子中的两个原子之间的势能曲线（右上角）
　　他说，这个势能曲线有一个最低点。从经典力学来看，当系统能量比较小时，双原子分子将会处在最低能处附近。而势能曲线在势能最低的形状恰好和抛物线类似，因此可以近似成谐振子。对此，张朝阳带着网友进行公式推导，主要方法来自于势能在能量最低点的泰勒展开：
　　他提醒网友，省略号表示泰勒展开的高阶项，可忽略。他还指出，在势能最低点，势能的一次导数为0，于是上式的一次项为0。把二阶导数记为k，重新定义势能零点和坐标原点，即可以把势能近似为谐振子势能的形式：
　　谐振子在物理中显得特别重要，张朝阳强调了这个结论的普遍性。总的来说，只要是考虑势能极小值附近的微扰问题，都可以近似为谐振子。求解薛定谔方程：谐振子能级与波函数
　　提到谐振子的哈密顿算符，张朝阳再列公式做推导。
　　是等效质量，他说，处理氢原子的时候由于质子比电子重很多，质子可以近似为在质心系中静止，因此哈密顿量可以直接用电子质量m。但是对于双原子分子，分子间的质量相差不大，哈密顿量里边的质量不能再直接使用其中某个原子的质量。
　　有了谐振子的哈密顿量之后，就可以直接写出定态薛定谔方程了。他告诉网友。
　　于是，张朝阳作了变量代换：
　　其中关于的二次项已经被消掉了。至此，张朝阳将H展开成幂级数代入方程，得到了系数的递推关系。（备注：后面将看到波函数中的H函数为Hermite多项式形式，故这里取其首字母。）
　　紧接着，张朝阳分析了如此递推公式下的幂级数，如果不截断成多项式，会导致波函数不满足边界条件，也就是波函数无法归一化。如果要求这个幂级数截断成多项式，则有2k10，从而2k1。按照一般习惯将k写为n，再结合前方变量代换中和E的关系，可得：
　　据此，张朝阳强调，谐振子的能量不是连续的，而是存在间隔的。这就是谐振子量子化的体现。他说，经典力学中的谐振子能量就像斜坡，量子力学中的谐振子能量则是台阶，一级一级的。
　　最后，他还介绍了谐振子定态波函数的具体形式。
　　拓展讨论：基态波函数、不确定性关系、等间距能级与零点能
　　张朝阳以谐振子基态波函数为例，强调基态的概率分布是高斯分布。先是通过概率分布的集中部分估算了x，然后根据动量和能量的关系估算了p，最后确认了两者的乘积确实满足不确定性关系。
　　谐振子基态满足不确定性关系
　　他强调，谐振子最低能态（n0的态）的能量不是0，也就是具有所谓的零点能。这是和经典力学不一样的。不过，由于谐振子相邻能级之间的差为固定值，而热激发只和能量差有关，因此，当年普朗克的黑体辐射公式才能和实验完全吻合。