光竟然有压力？张朝阳的物理课探讨太阳内部光压能否辅助气压抵抗引力

　　光竟然具有压力？气压不够，光压来凑！4 月 1 日 12 时，《张朝阳的物理课》第四十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从太阳内部的流体静平衡方程出发，估算辐射层的压强。
　　他首先跟网友们讨论了为什么需要考虑光压，然后推导出了黑体辐射的光压公式，进而应用到太阳辐射层的光压估算中。最后以具体的数值结果阐明，在辐射层光压可以部分地抵抗引力的收缩，维持太阳内部结构的平衡。
　　复习流体静平衡方程，估算太阳中心压强
　　直播开始，张朝阳先简短地给网友们复习了太阳的内部结构，并强调说，虽然这个直播课程以计算为主，但是限于所能获得的数据和计算工具，这里进行的计算只是估算，它可以给出和真实值接近的数量级，但在数值上可能会存在偏差，不过其偏差范围是可以容忍的。
　　随后又复习了上节课推导的流体静平衡方程。出发点与之前一样，考虑流体微元在太阳引力和气压之间的平衡。流体微元取在与太阳中心距离为 r 的位置，是底面积为 dS、厚度为 dr 的沿径向的薄柱体。因为均匀球壳对球壳内部的物体不会有引力作用，所以这个流体微元所受的引力均来自于半径 r 以内的物质，这部分引力等效于所有这些物质均集中在球心处所产生的引力。微元受力平衡，列出方程为：
　　其中 Mr 是半径 r 内的所有物质质量，ρ 为太阳内部密度且依赖于半径 r。化简就得到流体静平衡方程：
　　张朝阳解释，这只是决定太阳内部结构的方程之一。太阳内部的物质可以看作是理想气体，因此有理想气体的物态方程：
　　在太阳中心 dP / dr=0。这是因为在太阳中心附近 Mr 正比于 r^3，因此 dP / dr 正比于 r，从而导致 r=0 处 dP / dr=0。
　　他再次介绍了太阳内部的密度分布。其中太阳中心处密度约为 150 g / cm^3，超过黄金的密度；沿半径向外，密度逐渐下降，直至辐射区，密度降到约 0.2 g / cm^3。随后将核心层的一些数据总结出来： Rc=Rs / 4，Vc=Vs / 64 (这两式中，下标 c 表示核心 core，s 表示太阳 sun)，并且核心平均密度约是辐射层平均密度的 100 倍，这样估算出来的核心层总质量约为太阳总质量的一半。
　　张朝阳表示，上次直播课使用的是 Mc=0.9Ms，估算出来的中心压强偏大。按目前的数据，Mc=0.5Ms，可以重新得到太阳中心温度 Pc 为 1.7×10^16 Pa，这个结果和目前公认的数值 2.3×10^16 Pa 更接近了。估算辐射层压强公式，论述为何需考虑光压
　　紧接着，张朝阳写出上次课程所推导的估算太阳中心压强的公式, 其中平均密度是质量除以体积，且基于这次课程对 Mc 的估算，把上次课程中的 0.9 改为 0.5。：
　　代入 Rc=Rs / 4 化简得到：
　　然后，把辐射层与核心层交界处的压强记为 P1，接着对流体静平衡方程积分得到关于 P1 的公式：
　　对于上式，张朝阳讲解了估算思路，把 Mr 近似为核心层质量，密度用辐射层平均密度代替，于是得到：
　　他解释，这个公式和前面 Pc 的公式很相似，前面的因子大致相同，从而辐射层平均密度是核心层平均密度的多少分之一，就会导致 P1 是 Pc 的多少分之一。根据 P1 的公式，可以把辐射层的压强估算为：
　　也就是说，平衡所需的压强正比于密度的一次方。他又立马转到另一方面说道，辐射区的理想气体压强是：
　　它不仅正比于密度，还正比于温度，而温度是随着半径增大而下降的。他强调，理想气体的压强终究会下降到无法提供足够的压力与引力平衡。
　　张朝阳解释，必须考虑另一种压力，那就是光压。在核心层理想气体的压强很大，足以与引力形成平衡，并且光压很小，可以忽略。而到了辐射层，这一点就不成立了，物质气体提供的压强变得比较小，无法与引力形成平衡，这时候光压的作用相对来说更大，因此必须考虑光压才能重新得到平衡的结果。
　　他进一步解释，太阳核心产生的高能光子会在太阳内部不断地与离子碰撞，导致平均行进速度非常缓慢。在辐射层，这些光子会提供一个量级可观的压力，用以抵抗引力的收缩。照射到人身上的太阳光的光压是很小的，我们感受不到。但是在太阳内部这种极端环境下，光压会非常大。推导黑体辐射的光压公式，估算太阳辐射层光压量级
　　为了进一步分析辐射层的光压，张朝阳先带网友们推导黑体辐射的压力公式。他将黑体辐射的能量密度记为 u，黑体辐射通量密度为 I，根据斯特番-波耳兹曼定律，I=σT^4。辐射通量密度是指黑体单位表面单位时间所辐射的能量，它包含了各个方向的辐射，因此，还需要考虑沿特定方向的单位时间单位面积辐射的能量，即面辐射强度。张朝阳将面辐射强度记为 I_Ω，其中 Ω 是下标，用于标明它是沿特定立体角的辐射能量。
　　他先建立 u 和 I_Ω 的关系。张朝阳表示，某一处的辐射能量，可以看成是由包裹住这一处的球表面所发射的辐射汇聚而成的。为了简化，我们考虑一个半径为 r 的球面，然后计算球心 (dr)^3 范围内的辐射能量密度。取球面处的面积微元 dS，则球心处大小为 (dr)^3 的区域对 dS 的张角 dΩ 为：
　　设从 dS 发出的辐射逗留在 (dr)^3 里的时间为 dt，那么 dt=dr / c，其中 c 是光速。所以，从 dS 发出逗留在 (dr)^3 的辐射能为：
　　其中已经代入 dΩ 的公式。将这个结果除以 (dr)^3 就得到微元 dS 提供在球心处的能量密度：
　　对这个结果沿着整个球面积分就得到球心的能量密度：
　　或者等价地有 I_Ω=uc/(4π)。紧接着，再推导 u 和 I 的关系。根据定义有：
　　其中已经代入 I_Ω=uc/(4π) 用以化简。接下来，开始推导辐射对黑体表面的压强。当系统达到平衡时，黑体吸收多少辐射就会发射多少辐射，因此可以等效为辐射照射到黑体表面后被完全反射出来。另一方面，不同频率的光子其能量和动量是不一样的，因此需要单独考虑每个频率，从而要把 I_Ω 看成关于频率的积分：
　　张朝阳表示，对于以 θ 角入射的频率为 ν 的光，除以光子能量 hν 就可以算出入射光子数，由于每个光子动量为 hν/c，考虑角度 θ 导致的投影，就可以得到单位时间单位面积上以立体角 dΩ 入射的 dν 频段的光子所传递的动量：
　　其中因子 2 是考虑了反射，即动量改变要乘以 2。单位时间的动量改变就等于力，再加上考虑的是单位面积，因此上式就是这部分光对黑体的压强。注意上式的两处 hν 刚好消掉，因此对整个频段的积分其实就只是对 I_Ω(ν) 的积分，对 I_Ω(ν) 的整个频段积分结果是 I_Ω。再对整个半球立体角积分就可以得到总压强：
　　下图就是张朝阳在直播课上推导出的黑体辐射压强与温度的关系式：
　　(张朝阳推导黑体辐射压强公式)
　　接着，他将刚刚得到的黑体辐射压强公式应用到计算太阳辐射层光压的场景中。张朝阳打趣道，现在气体压强的＂援军＂到了，我们还需要知道这个＂援军＂能不能抵抗住引力的压缩。因为太阳中心温度是一千多万开尔文，而温度随着半径的下降是相对缓慢的，因此张朝阳假设辐射层温度为 700 万开尔文，将其代入光压公式，得到光压约为 10^12 Pa 量级 (注：具体代入相关数据后得到的值约为 6×10^11 Pa)。
　　他指出，前面估算得到太阳中心压强是 1.7×10^16 Pa，如果辐射层某处密度是核心层平均密度的千分之一，那么根据前面的推导，辐射层这一处的压强就是 1.7×10^13 Pa。假如温度的缓慢下降使得气体压强不足以提供所需的 1.7×10^13 Pa，根据刚刚推导的光压量级，光子是有望提供相应的压强作为补充的。