张朝阳的物理课讨论量子力学核心理论薛定谔方程是怎么被猜出来的

　　问任何一个物理爱好者，什么是量子力学？他们很可能会提到＂薛定谔的猫＂。接下来呢？则可能是薛定谔方程 。但是这个方程究竟是什么，为什么它如此重要，以至于任何一个量子物理学家都会把它记在脑海中？1 月 7 日，在第十八期《张朝阳的物理课》上，搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳在直播间再现薛定谔方程奇妙的发现过程，初步揭秘量子力学的核心理论。
　　复习经典物理波动方程 回顾德布罗意物质波公式
　　在直播间里，张朝阳带领大家简单复习前两节课的要点，并重点回顾经典力学中描述粒子和波的方式。在经典物理中，力的作用导致粒子运动状态的改变，可以用牛顿第二定律来描述这个改变过程。粒子的运动状态由位置和速度来表征，力的作用会改变粒子的速度，从而改变其能量。而在量子力学中，粒子由波函数来描述。在此，张朝阳先向网友介绍了经典力学中对波的描述方式。以一维波为例，在经典力学中，波由相应的波动方程来描述：
　　上述方程的解具有如下形式：
　　它示向左传播和向右传播的波的叠加。以平面波为例，描述平面波的 2 个主要参数为圆频率 ω=2πf 和波数 k=2π/λ。其中 λ 为波长，f 为频率。
　　▲张朝阳介绍平面波
　　张朝阳带着网友回顾德布罗意波的一些关系式：
　　它们在接下来薛定谔方程的引入中将会用到。如何猜出薛定谔方程？ 求导和对照是关键
　　＂我们努力地猜，当年薛定谔是怎么想到这个方程的？他看到德布罗意的论文之后，意识到电子应该用波来描述，于是把电磁波的想法转移过来，猜出了这个方程，最后居然是对的。＂张朝阳像说故事一样引出今天的主题。
　　德布罗意提出物质波的时候只是给出了波长和动量的关系，但是并没有推导物质波如何演化。那么，薛定谔是如何猜出这个方程的呢？直播过程中，张朝阳做了详细生动的介绍。
　　他在白板上写下光电场分量的平面波形式：
　　他解释：＂结合德布罗意公式，可以将其中的指数部分改写为＂：
　　这就是薛定谔猜测的物质波的平面波形式。出于简洁的需求，张朝阳先考虑了一维自由粒子的情况。其能量和动量满足如下关系：
　　它在量子力学下是否依然满足呢？薛定谔对此作出了勇敢的假设，认为这个关系在非相对论量子力学框架内依然成立。那怎样在波函数上体现出这个关系呢？这就需要先将物质平面波中的动量和能量＂取＂出来。
　　至此，张朝阳开始介绍求导得出动量和能量的方法。在平面波的式子中，动量和能量都出现在指数上，但是只要我们对位置 x 和时间 t 求偏导数，相应的动量和能量不就下来了吗？于是，张朝阳又展示了如下推导：
　　组合在一起就得到了有关这个平面波函数的方程。张朝阳强调，这个方程是线性偏微分方程，因此，它的各个解的线性组合，依然是原方程的解，这从形式上也符合量子力学的叠加原理。既然这个方程对平面波成立，而一般的波都可以看作是平面波的组合，那么这个方程对一般的自由物质波也成立。这就得到了一维自由粒子的波动方程：
　　此时，张朝阳顺势介绍，当存在外部势场时，能量将不仅包含粒子动能，还应当包含势能：
　　其中 U (x,t) 是势能函数。结合前面的推导，就得到了著名的一维薛定谔方程：
　　（张朝阳在直播中介绍薛定谔方程的形式）
　　张朝阳介绍，薛定谔方程不是推导出来的，而是猜测出来的。它是非相对论量子力学的基本方程，具有公设性质。只有根据薛定谔方程计算出结果，与实验结果一致，我们才能说这个理论是对的。他还解释，薛定谔方程的左边是对时间的一次导数，而右边是对空间的二次导数，这一点很关键。且考虑到因子 i 的存在，波函数不像电磁场那样是实函数，而是复函数。统计诠释和波包速度：波函数的物理意义
　　不过，即使薛定谔猜出了波动方程，也不知道这个波的物理意义是什么。张朝阳由此引入量子力学的哥本哈根诠释，也就是所谓的统计诠释。
　　张朝阳介绍，＂波函数的模方，表示的是粒子出现在相应位置的概率密度，根据这个概率密度，我们只需要对特定区域积分，就可以得到在该区域上发现粒子的概率。当我们得到粒子的波函数时，我们并不知道粒子具体在哪，我们得到的信息仅仅是测量后粒子在各位置出现的概率。＂他还进一步介绍波函数归一化的概念。具体地来说，因为整个空间上发现粒子的概率是 1，于是波函数的模方在整个空间上的积分就等于 1。
　　此外，张朝阳还提到矩阵力学和波动力学的关系，他说，＂它们就像一座高山上的两条路径＂。换言之，矩阵力学和波动力学都是描述量子力学的正确方法，是相互等价的 。
　　张朝阳再次演示，在量子力学中，粒子的速度不再等于 ω/k，而应该等于相应的波的群速度 dω/dk。根据张朝阳的计算，ω/k 实际上等于 v / 2，为粒子速度的一半。如果使用群速度 dω/dk 来计算，则得到了正确的速度 v。他解释道，这是因为粒子在实际观测中以波包的形式存在，群速度是描述整个波包的移动速度的，因此正好对应于粒子的速度；而 ω/k 是等相位点的移动速度，不代表粒子的运动速度。
　　▲张朝阳介绍波包的群速度
　　＂我们今天理解了薛定谔是怎么猜到薛定谔方程的，也知道描述具有波粒二象性的微观粒子的波函数。后面，我们只要解这个方程，就能把天下所有事情给它算出来。＂直播尾声，他回顾这一课的主要内容时说。同时他鼓励网友，量子力学很难懂，＂会用很多堂课来讲。＂据了解，下一讲他将开始解薛定谔方程，来解释氢的光谱，求一些波函数的定解，以及薛定谔方程的各种应用。