走近杨辉揭秘三角教学设计

　　本文为＂第三届数学文化征文比赛
　　《走近杨辉 揭秘三角》教学设计
　　作者: 何萍
　　作品编号：057
　　一、教学目标
　　1.知识与技能：
　　（1)掌握并能灵活应用多项式乘以多项式的运算法则。
　　（2)理解杨辉三角的数字规律，了解杨辉三角的历史和文化背景。
　　2.过程与方法：
　　通过课前的阅读、计算和网络学习，培养学生的自学能力，完成预习学案。在探究规律过程中培养合作意识，在独立思考的过程中发展创造思维能力。教学过程培养学生从特殊到一般的数学归纳、猜想能力，渗透类比思想和数形结合的思想。
　　3.情感、态度与价值观
　　培养学生发现问题、解决问题的能力，探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。激发学生的学习兴趣，培养学生的民族自豪感，树立学习数学的信心。感受数学魅力的同时，展示数学文化的价值体现。
　　二、教材分析
　　本课的主要内容是发现杨辉三角的基本规律，杨辉三角的数字规律主要包括横行、竖行、斜行各数之间的大小关系。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师作为组织者，提供必要指导，同时更为重要的是充分体现学生的主体性地位。
　　学生了解杨辉三角的规律后，介绍杨辉三角的来源，通过杨辉三角历史背景的描述，使得学生更了解数学文化。借助杨辉三角在现实生活中的应用和中高考试题，让学生能够学以致用。
　　三、教学重、难点
　　教学重点：杨辉三角规律的发现和理解以及了解杨辉三角的历史文化。
　　教学难点：杨辉三角规律的理解和应用。
　　四、教学方法
　　采取以学生为主体，教师为主导的探究式教学方法。学生观察规律时，采取讨论交流式的方法，激发学生主动寻找规律的欲望。杨辉三角的历史文化介绍推广环节，借助微课形式，在《高山流水》的背景音乐声中，杨辉三角的起源、发展和影响力的叙述娓娓道来，吸引学生感受数学的魅力和趣味性。杨辉三角的应用环节，培养学生的动手操作能力，充分体现学生的主体性地位。
　　五、教学过程
　　（一）温故知新
　　1.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（文字语言）
　　符号语言：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
　　2.完全平方公式：
　　【设计意图】复习多项式乘以多项式运算法则的基础上，引导学生计算(a+b)的高次幂，为提取展开式系数做好铺垫。
　　（二）新知探究
　　活动一：利用多项式乘以多项式法则，按照a的降幂排列，写出、、、（a+b≠0）的展开式。
　　将展开式系数填入下表1。
　　表一
　　【设计意图】利用多项式乘以多项式法则，按照a的降幂排列，写出、、、（a+b≠0）的展开式，并将展开式系数填入表格中。通过引入探究操作的过程，引导学生明白这个系数表的来源。
　　将上表1变换队形，填入下表2。
　　表二
　　如表2，三角形系数表就称为杨辉三角。
　　【设计意图】将(a+b)n展开式系数变换队形后，正好形成三角形系数表，从＂形＂的角度，揭示杨辉三角的第一层面纱。
　　活动二：同学们，能否继续写出、、、...、的展开式系数？
　　【设计意图】类比以往解决含n的题型，引导学生产生探究杨辉三角规律的欲望。
　　规律之美1：杨辉三角中两条斜边都是由数字1组成，每一个数均为肩上两数之和。
　　【设计意图】引导学生观察杨辉三角形数表，直观感受数字的规律，引导学生找出数字之间的关系。
　　规律之美2：与首末两端＂等距离＂的两个数相等，杨辉三角具有对称性。
　　【设计意图】引导学生从＂形＂的角度，观察杨辉三角形数表，发现由数字构成的图形是等腰三角形，而等腰三角形是最为典型的轴对称图形，从而展示了杨辉三角的对称之美。
　　规律之美3：杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
　　【设计意图】从＂数＂＂形＂两个角度分析杨辉三角数表后，引导学生从整体的眼光看待杨辉三角数表，即＂横向＂计算杨辉三角数表的和，寻找规律。同时，为后续从＂斜向＂观察杨辉三角的规律埋下伏笔。
　　规律之美4：从杨辉三角中一个确定的数的＂左（右）肩＂出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数。
　　规律之美5：斜看杨辉三角中各数的和，从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，这是著名的斐波那契数列，即为兔子数列。
　　【设计意图】斐波那契数列是数学文化史中趣味性很强的代表性范例，值得推广学习，从而引出斐波那契发现兔子数列的规律。
　　中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？（如图1）
　　图1
　　兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：
　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
　　【设计意图】通过讲解斐波那契数列的来源，引导学生意识到数学来源于生活应用于数学的价值体现。同时，介绍数学家斐波那契热爱生活，善于观察生活，并将生活中的现象记录下来留下宝贵的精神财富，引导学生树立研究性学习的观念，渗透数学建模的思想。
　　（三）时光列车
　　通过微课的形式讲述杨辉三角的起源、发展，走进杨辉三角，了解它背后的故事。
　　首先介绍古代数学家贾宪，中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数学家。曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，著有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。贾宪的主要贡献是创造了＂贾宪三角＂和＂增乘开方法＂。
　　然后介绍本课的主角——古代数学家杨辉，出生于南宋时期，1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了三角形数表，称之为＂开方作法本源＂图（如图2），并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了＂古法七乘方图＂。杨辉在所著《详解九章算法》、《开方作法本源》一章中作贾宪开方作法图，并说明＂出释锁算书，贾宪用此术＂。
　　图2
　　法国著名数学家、物理学家和哲学家帕斯卡，在13岁时（1654年）发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。帕斯卡在1665年出版《论算术三角形》，谈到＂算术三角形＂的构造和性质，并最早用数学归纳法证明了性质。
　　意大利数学家塔尔塔利亚的发现比帕斯卡要早100多年，比贾宪晚约500年。
　　【设计意图】描述贾宪、杨辉成就的同时，详细介绍杨辉三角的来龙去脉，并告知今日认知的杨辉三角实际上是贾宪最早发现这一神秘的数学知识，一场美丽的误会充满了数学文化的趣味性，激发学生的学习兴趣。同时类比引出西方国家有关杨辉三角的史实，充分展现了中国古代数学家的辉煌成就，激发学生的民族自豪感，树立学好数学知识的信念。
　　最后引用学生熟知的现代数学家华罗庚的名言作为结束语：＂数学是我国人民擅长的学科。我们祖国伟大人民在人类史上有过无比睿智的成绩。＂
　　（四）古为今用
　　＂纵横路线图＂是数学中的一类有趣的问题。下图3是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
　　【设计意图】通过生活中趣味性的问题，引发学生思考、动手操作实践，集思广益，学生通过直接观察的方式得出结论。
　　教师思路：如图3把图顺时针转45度变为图4，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系？
　　结论：B处所对应的数6，正好是答案 6．
　　猜想：每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．
　　【设计意图】将生活实际中的路线问题，借助杨辉三角知识解题，自然过渡到本课所学新知，体现杨辉三角的应用价值。
　　变式：＂纵横路线图＂是数学中的一类有趣的问题。下图5是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
　　【设计意图】变式题同样的方法，转化为图6，借助杨辉三角图7。借助学生常外出旅游的经历，激发学生对本问题的兴趣，开动脑筋思考答案，动手操作得出结论。教师引导，揭示杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系，从而揭秘杨辉三角在生活中无处不在的价值体现。
　　（五）提升思考
　　（2006年中考日照市卷第17题）德国数学家莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：
　　根据前5行的规律，可以知道第6行的数依次是： ．
　　【设计意图】借助本题引导学生认识杨辉三角在考试中可能出现的形式，同时引导学生掌握类比的思想和转化的方法。帮助学生先观察题中的单位分数三角形，逐步引导寻找单位分数三角形与杨辉三角的不同之处，层层递进，深入剖析，找出规律，借助杨辉三角的知识解决本题。
　　（六）课堂总结
　　通过杨辉三角故事的品读，感受到杨辉三角内在的奥秘，体会到数学文化的趣味性，欣赏数学文化的美妙之处，并深深被数学文化的魅力所折服。
　　（七）作业设计
　　1.查阅《杨辉三角》相关资料。
　　2.复习巩固《杨辉三角》的规律。
　　（八）板书设计
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