第二章探索图形的规律火柴棍里的数学文化课堂实录

　　本文为＂第三届数学文化征文比赛
　　第二章 探索图形的规律——火柴棍里的数学文化课堂实录
　　作者: 林素贤
　　作品编号：045
　　一、情境引入：
　　1.师展示图片，引入课题：
　　师：介绍古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数；同理像1 ，4，9，16，25, 36 ……叫做正方形数；像1, 5，12，22，35，51 ……叫做五边形数，这些数列有一定的规律性.今天让我们一起通过火柴棍摆图形的活动，经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，培养我们观察、分析、推理的能力，体会从＂特殊＂→＂一般＂→＂特殊＂的研究问题的思想方法。（1分钟）
　　2.热身活动（2分钟）
　　师：（1）如何用三根火柴棍摆一个比3大比4小的数；
　　生：在书桌上用三根火柴棍摆出丌
　　师：（2）如何用4根火柴棍摆出最小的数是多少？最大的数是多少？
　　生：在书桌上用三根火柴棍摆出-111和1111
　　（学生有点迟疑，一下子没想到，教师提醒可以通过小组的力量，最后摆出来了）
　　二、数学活动：
　　1.师：提出问题：如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有1，2，3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？（2分钟）
　　生：在书桌上摆出图形后回答分别需要3、5、7、9根火柴棍
　　师追问1：如果图形中含有2020个三角形，需要 根火柴棍？
　　2.生：分组探究，动手实践：学生亲自动手摆一摆，算一算．各小组都得到答案：需要 4041根火柴棍
　　师追问2：如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？（8分钟）
　　3.寻求规律，归纳总结：
　　师思路点拨：鼓励学生从多角度思考，分析表格中火柴棍根数与三角形个数之间的关系，
　　生：继续分组探究，动手实践，亲自动手摆一摆，算一算,上台写出答案并说明方法．最后各小组都得到答案：需要 (2n+1) 根火柴棍。
　　在这个环节中教师鼓励每个同学尽可能独立思考，并与同伴进行交流，关注学生在探索数量关系活动中的参与态度、思维水平和抽象能力：关注学生与他人进行合作与交流的意识．
　　. 师生一起对活动进行小结：
　　基本步骤： 提出问题——动手实践——寻求规律——归纳总结
　　探究规律： ＂特殊＂——＂一般＂——＂特殊＂
　　数学知识： 用字母表示数，整式的加减
　　重点关注：三角形的个数与火柴棍的棍数之间的对应关系。 （2分钟）
　　三、变式训练，感知中考（中考题改编）
　　变式一：用火柴棍摆出如下一系列正方形团
　　问题：
　　①搭1个正方形需要根火柴棍，
　　②搭2个正方形需要 7根火柴棍，
　　③搭3个正方形需要 10根火柴棍，
　　④搭n个正方形需要 3n+1根火柴棍，
　　⑤搭2020个正方形需要 301根火柴棍.
　　师：谁来回答这个问题？（学生踊跃举手）请卢桃英同学上来写答案.
　　师：同学们，同意她的答案吗？生：同意。师：真棒！谢谢桃英！
　　有部分学生指出：老师，老师，她第④题的3n+1没有括号
　　师：嗯！不错，你们考虑得很周到！（2分钟）
　　变式二：如果搭建下列图形
　　问题：
　　①搭第1个图形需要 7根火柴棍，
　　②搭第2个图形需要 12根火柴棍，
　　③搭第3个图形需要 17根火柴棍，
　　④搭第n个图形需要 ( 5n+2 )根火柴棍，
　　⑤搭第2020个图形需要 502根火柴棍.
　　师：谁来回答这个问题？（学生踊跃举手）请邱亦豪同学上来写答案.
　　师：同学们，同意他的答案吗？
　　生：同意。师：真棒！谢谢亦豪！（2分钟）
　　变式三：如图，下列图案是由火柴棍按某种规律搭成的
　　问题：
　　①第1个图案中有个小正方形，
　　②第2个图案中有个小正方形，
　　③第3个图中有 6个小正方形，
　　④第n个图案中有 2n个小正方形，
　　⑤第2020个图形有  200个小正方形。
　　师：谁来回答这个问题？（学生踊跃举手）请袁云鑫同学上来写答案.
　　师：同学们同意他的答案吗？
　　生：同意。
　　师：真棒！谢谢云鑫！（2分钟）
　　变式四：如图，下列图案是由火柴棍按某种规律搭成的
　　问题：
　　①第1个图案中有个正方形，
　　②第2个图案中有个正方形，
　　③第3个图案中有 6个正方形，
　　④第n个图案中有 2n个正方形，
　　⑤第2020个图形有 200个正方形。
　　教师巡逻观察同学后，请林嘉乐同学上台写答案，一写完，一些同学：老师，老师，他的答案是错的。
　　师：上官莹同学，你不同意林嘉乐同学的答案，那你的答案是什么？能不能上来写一下。
　　①第1个图案中有个正方形，
　　②第2个图案中有 5个正方形，
　　③第3个图案中有 8个正方形，
　　④第n个图案中有 （3n-1） 个正方形，
　　⑤第2020个图形有 299个正方形。（4分钟）
　　上官莹同学边写答案边解释解题思路，指出林嘉乐同学的答案中漏算大的正方形。（全班同学热烈鼓掌）
　　变式五：如下图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2）；再分别连接图（2）中间小三角形三边的中点，得到图（3）．
　　问题：
　　①第（1）个图案中有个三角形，
　　②第（2）个图案中有 5 个三角形，
　　③第（3）个图案中有 9个三角形，
　　④第（n）个图案中有 (4n-3)个三角形，
　　⑤第2020个图形有 397个三角形。
　　师：谁来回答这个问题？（学生踊跃举手）请林贤睿同学上来写答案.
　　师：同学们同意她的答案吗？
　　生：同意。师：真棒！谢谢贤睿！（2分钟）
　　变式六：如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边摆上2019（n=2019）根时，需火柴棍为 A根.
　　A、3×2019×1010 B、3×2019×1011
　　C、3×2019×1009 D、3×2019×1008
　　师：谁来回答这个问题？（没人举手）看来这个问题比较难，我们回顾一下刚刚上课时老师提到的毕达哥拉斯形数，我们一起欣赏一下，首先请看三角形数：
　　（一）三角形数
　　三角形数构成一个数列。第n个三角形数是：
　　师生共同研究完三角形数后，再回到变式六的问题中，发现：
　　当n=1时，火柴棍的根数是3×1=3
　　当n=2时，火柴棍的根数是3×（1+2）=9
　　当n=3时，火柴棍的根数是3×（1+2+3）=18
　　……
　　第n个图形火柴棍的根数是
　　所以第2019个图形火柴棍的根数是3×（1+2+3+……+2019）=3×2019×1010（5分钟）
　　师生共同小结：对应是数学中一种重要的思想方法，不只是形与数的对应，我们生活中也存在大量的对应关系，要善于发现、总结其中规律，并把这种思维方式运用于其他方面。
　　师：同时我们发现学习数学有多种渠道，平时兴趣要广泛，多去了解古今中外灿烂的数学文化知识，当碰到无法解决的问题时，也许能给我们启发。（引导学生关注数学文化，提高学习数学的兴趣）（1分钟）
　　四、数学欣赏：
　　我们再来欣赏下正方形数
　　（二） 正方形数
　　正方形数构成一个数列。第n个正方形数是：
　　（向左滑动查看完整公式）
　　（三） 五边形数
　　三角形数和正方形数的规律很容易看出来，通项也就很容易写出来。但五边形数怎么求？五边形数的通项公式是什么？先看一下下图：
　　同学们先仔细观察一下。 是不是不太容易找到规律？
　　师：那我们一起看看三角形数1，3，6，10，15，21……和1 ，4，9， 16，25, 36 ……正方形数之间有什么关系？
　　师生归纳：两个连续的三角形数是一个正方形数。师：但为什么？请看右图：（我们不妨用一条斜线（图中红线）把正方形数分成两部分）
　　我们还可以从通项公式加以验证：
　　师：毕达哥拉斯学派知道把正方形数划分成两个连续的三角形数相加，但他们没有再向前迈进。那当今的同学们是不是发展一下毕氏学派的研究？可否类似前面的做法？同学们动手试试
　　如下图所示：
　　看出来没有，上图中左侧依然是第(n-1)个三角形数，而右侧正好是第n个正方形数。那好的，我们刚才暂时放下没有解决的五边形数的通项公式，现在可以通过上面的划分得到了：
　　(5分钟)
　　(四) k 边形数（或叫 k 角形数）
　　师：有兴趣的同学还可以类似于前面的方法试求k 边形数（或叫 k 角形数），如k=6时：
　　师：六边形数的通项公式可以通过第(n-1)个三角形数加上第n个五边形数得到：
　　（2分钟）
　　五、课堂总结：
　　师生共同总结：通过本课的学习，我们学会了用整式和整式的加减运算表示图形问题中的数量关系，掌握了从特殊到一般再到特殊，从个体到整体再到个体，从不同角度来观察、分析问题。体会了数形结合的思想. （2分钟）
　　六、课后作业布置
　　1，学案变式题中如果每根火柴棍的长度是1，那么第n个图形周长分别是 ，面积分别是 .
　　2，课本第70页习题2．2第9、10题．
　　3. 课时作业. （1分钟）
　　课后小结：
　　1. 对自己说，你有什么收获？
　　2. 对同学说，你有什么温馨提示？
　　3. 对老师说，你有什么困惑？（1分钟）
　　课后阅读
　　1.了解毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约前500（490）年）生平.
　　2.了解毕达哥拉斯学派对形数的研究.
　　3.了解毕达哥拉斯树. （1分钟）
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