中考数学压轴题分析建系法解几何题

　　【中考真题】
　　（2020·遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
　　（1）求证：EF＝DE；
　　（2）当AF＝2时，求GE的长．
　　【分析】
　　题（1）证明两个线段相等，一般考虑证明全等的方式。
　　图中发现△DME≌△ENF有可能成立，找条件即可。
　　所有的角都对应相等，但是缺一条边。本题需要利用点E的特殊位置——对角线上。所以可以得到ME=MC=BN，进而得到MD=NE。结论得证。
　　当然，还可以构造如下的辅助线，过点E作AC的垂线，交AB的延长线于点H，并连接BH。得到△AEH为等腰直角三角形，进而易得△ADE≌△HFE（AAS）。
　　当然，要点还是第（2）小题。求的是GE的长度。
　　已知AF的长度，则可以得到图形是固定的，必然有方法可以求出。
　　何不直接建系？
　　选其中的一个顶点为原点，标出A、B、C、D和F的坐标，进而得出直线DF与AC的解析式，联立求出点G的坐标。连接BE，易得BE=FE，进而得NF=NB=1。可以得到点E的坐标。再利用勾股定理即可得出GE的长度。
　　你以为结束了吗？
　　本题有陷阱哦！
　　事出反常必有妖，题目告诉点F在BA及其延长线上，那么点F有没有可能在延长线上呢，画一画就知道了。
　　此时点F在x轴的负半轴，仍然成立，得BN=FN=3，可以得到点E的另一种可能，然后求出点G和E的坐标之后，再求长度即可。
　　当然，本题还有一些常规的思路进行求解，例如相似等等。
　　先求出AG和CG的长度，再求出CE的长度即可。
　　或者也可以过点E作DF的垂线，求出HE和HG的长度，然后就可以得到GE的长度了。
　　【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
　　∴∠ECM＝45°，
　　∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
　　∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
　　∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
　　∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
　　∴MC＝ME，
　　∵CD＝MN，
　　∴DM＝EN，
　　∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
　　∴∠DEF＝90°，
　　∴∠DEM+∠FEN＝90°，
　　∴∠EDM＝∠FEN，
　　在△DME和△ENF中
　　∠EDM=∠FEN，DM=EN，∠DME=∠ENF，
　　∴△DME≌△ENF（ASA），
　　∴EF＝DE；
　　（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
　　∴ME＝NF，
　　∵四边形MNBC是矩形，
　　∴MC＝BN，
　　又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
　　∴BN＝MC＝NF＝1，
　　∵∠EMC＝90°，
　　∴CE=√2，
　　∵AF∥CD，
　　∴△DGC∽△FGA，
　　∴CD/AF=CG/AG，
　　∴4/2=CG/AG，
　　∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
　　∴AC＝4√2，
　　∵AC＝AG+GC，
　　∴AG=(4√2)/3，CG=(8√2)/3，
　　∴GE＝GC﹣CE=(8√2)/3-√2=(5√2)/3；
　　如图2所示，
　　同理可得，FN＝BN，
　　∵AF＝2，AB＝4，
　　∴AN＝1，
　　∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
　　∴AC＝4√2，
　　∵AF∥CD，
　　∴△GAF∽△GCD，
　　∴AF/CD=GA/GC，
　　即2/4=AG/(AG+4√2)，
　　解得，AG＝4√2，
　　∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
　　∴AE=√2，
　　∴GE＝GA+AE＝5√2．
　　【总结】
　　解题是一定要注意题目中的一些字眼，可能会起到关键作用。
　　其次，求线段长度，无非就是相似、三角、勾股、等面积及建系等几种常用的方法。
　　【举一反三】
　　（2016•广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
　　（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
　　（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
　　（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
　　【答案】 （1）四边形APQD为平行四边形；
　　（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
　　∵OQ⊥BD，
　　∴∠PQO＝45°，
　　∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
　　∴OB＝OQ，
　　在△AOB和△OPQ中，
　　AB=PQ，∠ABO=∠PQO，BO=QO
　　∴△AOB≌△POQ（SAS），
　　∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
　　∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，
　　∴OA⊥OP；
　　（3）如图，过O作OE⊥BC于E．
　　①如图1，当P点在B点右侧时，
　　则BQ＝x+2，OE=(x+2)/2，
　　∴y=1/2×(x+2)/2•x，即y=1/4（x+1）²-1/4，
　　又∵0≤x≤2，
　　∴当x＝2时，y有最大值为2；
　　②如图2，当P点在B点左侧时，
　　则BQ＝2﹣x，OE=(2-x)/2，
　　∴y=1/2×(2-x)/2•x，即y=-1/4（x﹣1）²+1/4，
　　又∵0≤x≤2，
　　∴当x＝1时，y有最大值为1/4；
　　综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．