中考数学压轴题分析运动轨迹问题

　　【中考真题】
　　（2020·绥化）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，BG/BC=k．
　　（1）求证：AE＝BF；
　　（2）求证：tanα＝k•tanβ；
　　（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积．
　　【分析】
　　题（1）非常简单也很典型，就是大家熟悉的内三垂直。证明全等即可。
　　题（2）本题难度也不大，只需要把tanα与tanβ的比值用对应的边表示出来即可。
　　最终转化为三角形的相似。
　　题（3）求的是E、F的运动路径与AB围城的图形的面积。
　　本题的关键为发现∠AED与∠ABF始终为直角。而且他们所对的线段是不变的。我们就可以把它们看成分别以AB、AD为直径的圆弧上运动的点。
　　确定起点与终点即可。
　　拓展：
　　运动路径问题往期文章
　　再议直线运动路径问题
　　中考运动路径问题探究——几何画板演示
　　点运动路径规律总结
　　【解答】 解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
　　∵DE⊥AG，BF⊥AG，
　　∴∠AED＝∠BFA＝90°，
　　∴∠ADE+∠DAE＝90°，
　　∵∠BAF+∠DAE＝90°，
　　∴∠ADE＝∠BAF，
　　∴△ABF≌△DAE（AAS），
　　∴AE＝BF；
　　（2）在Rt△DEF和Rt△EFB中，tanα=EF/DE，tanβ=EF/BF，
　　∴tanα/tanβ=EF/DE⋅BF/EF=BF/DE．
　　由①可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°，
　　∴△AED∽△GBA，
　　∴AE/GB=DE/AB，
　　由①可知，AE＝BF，
　　∴BF/GB=DE/AB，
　　∴BF/DE=GB/AB，
　　∵BG/BC=k，AB＝BC，
　　∴BF/DE=BG/AB=BG/BC=k，
　　∴tanα/tanβ=k．
　　∴tanα＝ktanβ．
　　（3）∵DE⊥AG，BF⊥AG，
　　∴∠AED＝∠BFA＝90°，
　　∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，
　　同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．
　　∵AB＝AD＝4，
　　∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=1/4×4×4＝4．