中考数学压轴题分析角平分线平行得等腰

　　【中考真题】
　　（2020·牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
　　（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
　　（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
　　（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝ 　 　 ．
　　【分析】
　　题（1）证明线段的和差关系，这里并不需要截长补短。
　　而是＂角平分线+平行线→等腰三角形＂。
　　图中MF与CF易得相等，然后进行转化即可。
　　题（2）是在（1）的基础上面变化而来的，所以结论的话类似。但是图②这里BC的长度是最大的，所以变成另外两个之和等于BC。而图③中最长的又变成了AE了。证明方法都差不多。
　　题（3）知道AE、DE的长度，那么BC的长度就知道了。再利用等量关系求出CF即可。但需要根据3个图进行分类讨论。
　　平行+角平分线必得等腰
　　【答案】 解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．
　　∵AB＝BC，EF∥BC，
　　∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
　　∴AE＝EF，
　　∴MF∥BC，
　　∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
　　又∵∠FCM＝∠BCM，
　　∴∠M＝∠FCM，
　　∴CF＝MF，
　　又∵BD＝DE，
　　∴△MED≌△CBD（AAS），
　　∴ME＝BC，
　　∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，
　　即AE+BC＝CF；
　　（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，
　　如图②，延长CD，EF交于点M．
　　由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
　　∴ME＝BC，
　　由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
　　∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；
　　当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．
　　如图③，延长CD交EF于点M，
　　由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
　　又∵AB＝BC，
　　∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
　　∵EF∥BC，
　　∴∠F＝∠FCB，
　　∴EF＝AE，
　　∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；
　　（3）CF＝18或6，
　　当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，
　　∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；
　　图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，
　　∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；
　　图③中，DE小于AE，故不存在．
　　故答案为18或6．
　　【总结】
　　等腰三角形，平行线和角平分线，知二得一。
　　特别是与圆有关的问题里面，经常会出现类似的图形。如下图所示。