【中考真题】
　　（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，
　　（1）求证：△EGC∽△GFH；
　　（2）求AD的长；
　　（3）求tan∠GFH的值．
　　【分析】
　　题（1）证明两个三角形相似，只需要利用余角的性质即可。
　　三个直角，易得所有的角度都对应相等。
　　题（2）求AD的长度，则需要利用题目的中的面积关系。两个同高不同底的面积比S△GFH：S△AFH＝2：3，可以得到AD与AB的比值为3/5.知道AB的值，那么AD自然就知道了。
　　题（3）则算是小压轴。也仅仅是针对本题而言。
　　只需要对∠GFH进行转化即可。利用题（1）中的相似，可以转化为∠ECG的正切值即可。
　　通常，折叠问题会设未知数。设EG=x，则EC=12-x，CG=4，那么利用勾股定理即可得出结论。
　　当然，直接在△GHF中求也是可以的。
　　【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
　　∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
　　由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
　　∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
　　∴∠EGC＝∠GFH，
　　∴△EGC∽△GFH．
　　（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
　　∴GH：AH＝2：3，
　　∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
　　∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
　　∴GH＝8，AH＝12，
　　∴AD＝AH＝12．
　　（3）解：在Rt△ADG中，DG=√(AG²-AD²)=√(20²-12² )=16，
　　由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
　　∵GH²+HF²＝GF²，
　　∴8²+x²＝（16﹣x）²，
　　解得：x＝6，
　　∴HF＝6，
　　在Rt△GFH中，tan∠GFH=GH/HF=8/6=4/3．

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