中考数学压轴题分析圆与相似齐飞

　　【中考真题】
　　（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
　　（1）求证：直线AB与⊙O相切；
　　（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
　　（3）若EF＝3，tan∠ACE=1/2时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．
　　【分析】
　　题（1）非常典型，也非常常考，几乎所有的练习册中都有类似的题目
　　已经连接圆心与交点，证明垂直即可。根据BC是切线，只需要证明∠BEO=∠BCO即可。
　　题（2）中难度不算大，但是图形比较复杂，所以需要仔细审题。
　　遇到线段乘积，只需要转化为比例式即可。
　　即AE/AC=EF/ED，再利用相似可以把AE/AC转化为DE/CE，也就是tan∠DCE的值，而tan∠DCE=tan∠GCE=tan∠EDG=EF/DE。结论可得。
　　题（3）也是在（2）的基础上面，知道了tan∠ACE的值，就可以得到边长的比例。易得tan∠EDG=tan∠ACE=1/2，得DE=6，那么其它的线段长度都容易得到。
　　但是怎么求AN呢？
　　AN又没有所在的三角形，也是直径相关的弦，所以比较麻烦。
　　但是，我们可以想到圆里面有关的线段问题就是需要利用垂径定理。
　　那么过点O作AN的垂线即可。再根据比例关系求出OA、AH和OH，然后AN就自然知道啦。
　　【解答】 （1）证明：∵CD是直径，
　　∴∠DEC＝90°，
　　∴DE⊥EC，
　　∵DE∥OB，
　　∴OB⊥EC，
　　∴OB垂直平分线段EC，
　　∴BE＝EC，OE＝OC，
　　∵OB＝OB，
　　∴△OBE≌△OBC（SSS），
　　∴∠OEB＝∠OCB，
　　∵BC是⊙O的切线，
　　∴OC⊥BC，
　　∴∠OCB＝90°，
　　∴∠OEB＝90°，
　　∴OE⊥AB，
　　∴AB是⊙O的切线．
　　（2）证明：连接EG．
　　∵CD是直径，
　　∴∠DGC＝90°，
　　∴CG⊥DG，
　　∵CG∥OE，
　　∴OE⊥DG，
　　∴(DE) ̂=(EG) ̂，
　　∴DE＝EG，
　　∵AE⊥OE，DG⊥OE，
　　∴AE∥DG，
　　∴∠EAC＝∠GDC，
　　∵∠GDC＝∠GEF，
　　∴∠GEF＝∠EAC，
　　∵∠EGF＝∠ECA，
　　∴△AEC∽△EFG，
　　∴AE/EF=AC/EG，
　　∵EG＝DE，
　　∴AE•DE＝AC•EF．
　　（3）解：过点O作OH⊥AN于H．
　　∵弧DE=弧EG，
　　∴∠EDG＝∠ACE，
　　∴tan∠EDF＝tan∠ACE=1/2=EF/DE=DE/EC，
　　∵EF＝3，
　　∴DE＝6，EC＝12，CD=√(DE²+EC²)=6√5，
　　∵∠AED+∠OED＝90°，∠OED+∠OEC＝90°，
　　∴∠AED＝∠OEC，
　　∵OE＝OC，
　　∴∠OEC＝∠OCE，
　　∴∠AED＝∠ACE，
　　∵∠EAD＝∠EAC，
　　∴△EAD∽△CAE，
　　∴AE/AC=DE/EC═AD/AE 1/2，
　　∴可以假设AE＝x，AC＝2x，
　　∵AE2＝AD•AC，
　　∴x2＝（2x﹣6√5）•2x，
　　解得x＝4√5（x＝0舍去），
　　∴AE＝4√5，AC＝8√5，AD＝2√5，OA＝5√5，
　　∵EC∥AN，
　　∴∠OAH＝∠ACE，
　　∴tan∠OAH＝tan∠ACE=OH/AH=1/2，
　　∴OH＝5，AH＝10，
　　∵OH⊥MN，
　　∴HM＝HN，连接OM，则MH＝HN=√(OM²-OH² )=√((3√5 )²-5² )=2√5，
　　∴AN＝AH+HN＝10+2√5．